天下奇迹谁创造？九宫图里来探源

延安教育学院 高治源

   在自然数的世界里，有一种奇妙的现象，令人吃惊，《天下之奇》一书中就举了这样的一个数学例子，请看这样两组自然数：

A：（1，6，7，23，24，30，38，47，54，55）

B：（2，3，10，19，27，33，34，50，51，56）

让我们不可思议的是，这两组数不仅和，平方和相等，而且立方和，四次方和，直到八次方和都相等。数字间的这种内在和谐匹配，竟然表现出这么奇妙的规律，它们曾使众多数学爱好者为此折服感叹过，因而被称为“天下之奇”。那么这种天下奇迹是谁最先可创造的呢，这个问题现在竟然无人知道。在数学史上，还有很多没有留下姓名的发现者，他们为科学的发展作出了无私奉献。尽管这样，人们竟不住要问，这两组数究竟是数学工作者但然所得，还是循着一层神秘的的面纱，让人着谜。这些疑问挂在笔者心头也仅仅五个年头了，一次我们对九宫图的布局作了认真的思考，我们发现关心中行轴对称的一、三行，两组数具有中心对称的关系，即关于中心数5对称的两数之和全为10。而它们的平方和相等。轴对称，中心对称，这两个几何中的重要概念，在九宫图中表现的异常突出。

6     1    8

   P

2     9     4

图3-3

无独有偶，我们在从九宫图的妹妹——四阶幻方中，发现了两个田格中的两组数，它们的和、平方和、立方和、都相等：1³+6³+11³+16³=2³+4³+13³+15³这两组数就具有一种轴对称关系。（图3-5）

图3-4

   我们的思路逐渐开开朗起来，九宫图的轴对称，中心对称的关系似乎就是编造高阶等幂和数组的两把金钥匙呢？我们已经看到这两把金钥匙在闪闪发光。经过不断探索，我们终于发现，那两个被称为“天下之奇”之数组，正是由九宫图中两组数（6，1，8）和（2，9，4），经过轴对称，中心对称，辗转扩充得来的。这就象攀登高峰一样，请跟我们一步步往上登。

1．选取对称常数m=15，进行轴对称扩充（图3-6）

可得立方和相等的两组数是（1，7，8，14）（2，4，11，13）其中6，9两数，两组数中都有，据等式关系可去掉。

2．选取对称常数m=17，进行中心对称扩充（图3-7）

图3-7

     可得四次方和相等的两组数:1⁴+6⁴+7⁴+8⁴+14⁴+15⁴=2⁴+3⁴+9⁴+10⁴+11⁴+16⁴=96835

3．选取对称常数m=24、经中心对称扩充，可得5次幂和相等的数组：1⁵+6⁵+7⁵+23⁵+18⁵+17⁵=2⁵+3⁵+11⁵+13⁵+21⁵+22⁵

4．选取对称常数m=35经中心对称扩充，可得6次方和相等的数组：1⁶+6⁶+7⁶+14⁶+23⁶+24⁶+32⁶+33⁶=2⁶+3⁶+11⁶+21⁶+12⁶+28⁶+29⁶+34⁶

5．选取对称常数44经轴对称扩充，可得7次方和相等的数组：1⁷+6⁷+7⁷+14⁷+24⁷+20⁷+30⁷+37⁷+38⁷+43⁷=2⁷+3⁷+28⁷+29⁷+34⁷+10⁷+15⁷+16⁷+41⁷+42⁷

6．选取对称常数m=57就可得两个8次方和相等的数组，而这两组数正是我们前面提到的那两组数。

被称为天下之奇的两组数的谜底，就这样被我们解破了。我们在九宫图中找到了两把金钥匙：轴对称，中心对称。但要达到那迷人的宫殿，仅持这两把金钥匙还不够，还需根据数字中的和谐关系，准确选定对称常数，才能找到那层层迷宫中的每扇大门。回顾头来，我们每打开一扇门，总得小心谨慎，面前总是摆着几条道让我们选择，稍微不慎就会步入死胡同，拿着钥匙干着急。

值得指出的是，九宫图中另一对平方和相等的数组（2，6，7）和（3，4，8），通过轴对称中心对称的扩充，依次选取对称常数15，23，30，43，54，63，同样可得和，平方和，直到八次方和相等的数组：

c：（2，6，12，25，29，31，43，48，59，60）；

d：（3，4，15，20，32，34，38，51，57，61）

    这是我们从九宫图出发创造的另一个世界奇迹。

    有趣的是，我们用其它平方和相等的数组，竟然很难创造出这种奇迹。是我们努力不够，还是有什么内在原因，这真是一个迷团。此外，A，B两组数，与C，D两组数似乎也有一种内在关系，如通过E=A+D，F=B+C，获得两组数，将相同的数字去掉后，正好E，F中各包括10个数，当我们把各数各数都减4以后，我们发现这两组数竟然就是A与B。这真象一个传奇的故事。