h
h=3（a-1）+b
(a,b)
c
1
2
3
4
5
6
2
9
4
(1,2)
(3,3)
(2,1)
d
1
2
3
3
2
1
7
5
3
(3,1)
(2,2)
(1,3)
3
1
2
2
1
3
8
1
6
(2,3)
(1,1)
(3,2)
2
3
1
1
3
2
多环数组，幂和均等
延安
高治源
前面我们所讨论的等幂和数组都是成对出现的，那么能否找到3环，4环及更多环的数组使它们的和，平方和及更高次幂和相等呢？答案是肯定的。例如下列三组数是3环2阶等幂和数组：
12+62+82+112+152+162
=22+52+92+102+132+182
=32+42+72+122+142+172
=703
如果几个数组，它们的和，平方和，直到K次方和全相等，我们称此为几环K阶等幂和数组。那么多环等幂和数组如何构造呢？我们还得从九宫图谈起。
1．古老的数学问题——九宫图，确实凝聚着非凡的信息，九宫图中就蕴含着编造3环2阶等幂和数组的奥秘。我们首先将九宫图中的每个数，按公式h=3（a-1）+b，化解成数对（a、b），a、b是1，2，3其中一数。化解后得A方，然后以此次序排成6列得B方。用公式y=3（c-1）+a计算，其中c为列数即为3环2阶等幂和数组（图3-8）。
|
h |
|
(a,b) |
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||||
|
2 |
9 |
4 |
(1,2) |
(3,3) |
(2,1) |
d |
1 |
2 |
3 |
3 |
2 |
1 |
||
|
7 |
5 |
3 |
(3,1) |
(2,2) |
(1,3) |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
|||
|
8 |
1 |
6 |
(2,3) |
(1,1) |
(3,2) |
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2 |
|||
用y＝3(c-1)＋d可得〔1，5，9，12，14，16
〕＝〔3，4，8，11，13，18〕＝〔2，6，7，10，15，17〕
2．九宫图中还蕴含着一种十分简易的方法，可一下子构造出两类3环2阶等幂和数组。设九宫图A，将旋转90°（顺时针，逆时针均可）得A′,将A′各数各加a(a≥9),得幻方B,将A、B两幻方对应格并置，即可得三阶二元幻方,此幻方三行三列各所含6数的和,平方和都相等,从中可得两个3环2阶等幂和数组，图3-9是a=9时构造的二元三阶幻方，其各行各列6数之平方和都为790。
3．九宫图中的平方和相等的数组，可通过轮环相配，获得4环2阶等幂和组：
612+182+862=292+942+422=162+812+682=922+492+742=11441.
272+762+622=432+382+842=722+672+262=342+832+482=10349
在4环数组的基础上，再以此种方式轮环相配，可得8环2阶等幂和数组，每组数都仅含有3个数。这样继续下去，可得16环，32环等更多环的等幂和数组。
利用轴对称的构造方式，上面的4环2阶等幂和数组可得到4环3阶等幂和数组，选取常数100。
613+183+863+393+823+143=293+943+423+713+63+583
=163+813+683+843+193+323=923+493+243+83+513+763
=1482300。
再选取常数200，以中心对称的构造方式，可得4环4阶等幂和数组（第一式与第四式相配，第二式与第三式相配）：
614+184+864+394+824+144+1084+1514+1764+1924+1494+1244
＝924+494+244+84+514+764+1394+1824+1144+1614+1184+1864
＝64+814+684+844+194+324+1714+1064+1584+1294+1944+1424
=294+944+424+714+64+584+1844+1194+1324+1164+1814+1684
=3819923012
这样辗转构造下去，阶数将起来越高，每组数字的个数也将越来越大，但它是构造多环高阶等幂和数组的最基本的方法。