等幂和数组的最小个数问题已成天下之迷

九宫图的布局体系中似乎已有现成的结论

延安教育学院   高治源的猜想

   从高阶等幂和数组和构造方法上来看，随着阶数的增大，等幂和数组的个数成倍地增加，但我们可适当选取对称常数，使个数减少，那么究竟能相应地减少到什么程度，这确实难以把握，这就引出一个最小个数问题。设两个K阶等幂和数组满足：a₁ⁱ+a₂ ⁱ+a ₃ⁱ+…+ a_Sⁱ= b₁ⁱ+b₂ ⁱ+…+ b_Sⁱ其中i=0，1，2，3，…K，S是等幂和数组中的个数。我们的问题是，对于一个确定的K，最小的Ｓ应是多少？这确实是一个令世人费解的难题。已成为天下之谜。不过，我们从九宫图的布局体系中似乎已发现一种规律，顺着这一规律追上去，我们可以看到一个令人神往的结论，就象高空中突然出现了一个飞碟，引起了我们极大的好奇。

1．K=0，S=1。九宫图中的每一个数的零次幂都为1，如3⁰=7⁰=1，从中得k=0，s=1。

2．K=1，S=2。九宫图中关于中心对称的两数之一次和皆为10。如3¹+7¹=2¹+8¹=3¹+7¹=4¹+6¹，从中得K=1，S=2。

3．K=2，S=3。九宫图中的二阶等幂和数组有两个，即4²+9²+2²=8²+1²+6²，4²+3²+8²=2²+7²+6²这就是说K=2时，只须S=3。

  多么有规律的结论啊，顺着这一规律走下去，我们便有，当K=3时，只须S=4。当K=4时，只须S=5。一般地，K阶等幂和数组的最小个数是S=K+1。

这一猜想是否正确呢？在我们破解被称为天下之奇的八阶等幂和数组的过程中，我们发现，当K=3时，正巧存在S=4的两个数组，如1³+7³+8³+14³=2³+4³+11³+13³。当K=5时，正巧存在S=6的两个数组，如1⁵+6⁵+7⁵+17⁵+18⁵+23⁵=2⁵+3⁵+11⁵+13⁵+21⁵+22⁵这显然，为我们的猜想的成立铺开了一条小路。

功夫不负有心人，我们应用对称法又补充得到两个四阶等幂和数组，其个数S=5。

1⁴+14⁴+20⁴+37⁴+38⁴=2⁴+10⁴+28⁴+29⁴+41⁴         4⁴+5⁴+22⁴+28⁴+41⁴=1⁴+13⁴+14⁴+32⁴+40⁴

我们为了使九宫图中所得出的结论，更能引起人们的注意，使这一猜想就象哥德巴赫猜想那样金光四射，我们需要获得更多的佐证材料，这样继续找下去，总有例子说明我们的猜想是正确的。

4．当K=6时，S=7。

1⁶+19⁶+28⁶+59⁶+65⁶+90⁶+102⁶

=2⁶+14⁶+39⁶+45⁶+76⁶+85⁶+103⁶

5．当K=7时，S=8。

1⁷+5⁷+10⁷+24⁷+28⁷+42⁷+47⁷+51⁷

=2⁷+3⁷+12⁷+21⁷+31⁷+40⁷+49⁷+50⁷

6．当K=8时，S=9。

1⁸+25⁸+31⁸+84⁸+87⁸+134⁸+158⁸+182⁸+198⁸

=2⁸+18⁸+42⁸+66⁸+112⁸+116⁸+169⁸+175⁸+199⁸

7．当K=9时，S=10。

  1⁹+3084⁹+3302⁹+11894⁹+23315⁹+24187⁹+35608⁹+44200⁹+44418⁹+47501⁹

=13⁹+2866⁹+3520⁹+11870⁹+23739⁹+23763⁹+35632⁹+43982⁹+44636⁹+47489⁹

^8.当K=10时，S=11。

  0¹⁰+11¹⁰+24¹⁰+65¹⁰+90¹⁰+129¹⁰+173¹⁰+212¹⁰+237¹⁰+278¹⁰+291¹⁰+302¹⁰

= 3¹⁰+5¹⁰+30¹⁰+57¹⁰+104¹⁰+116¹⁰+186¹⁰+198¹⁰+245¹⁰+272¹⁰+297¹⁰+299¹⁰

因而至少可以这样说，当K≤10时，一定存在S=K+1，也就是说，我们的猜想在K≤10时是成立的。那么，如何证明对于任何K，保证X₁ⁱ+ X_２ⁱ+…＋X_Ｋ＋１ⁱ＝ｙ_１ⁱ+ ｙ_２ⁱ+…ｙ_Ｋ＋１ⁱ当ｉ＝１，２，3……，Ｋ时有自然数解呢？这是一个特别困难的问题。我们即使寻找千千万万个实例也不能说明其猜想是成立的。让我们感到棘手的是，我们无法从理论上证明它，最好是找到一个递推公式，将各阶等幂和数组表示出来。估计这一猜想需要人们努力多年。