幻方及其幻图

几乎没有人不知道我国是幻方的发源地的,下面的九宫图更是家喻户晓:

4	9	2
3	5	7	3
8	1	6	8
	9	2

10	18	1	14	22
4	12	25	8	16
23	6	19	2	15
17	5	13	21	9
11	24	7	20	3

用马步法做出的奇数阶幻方还具有超幻方性,即除了横行,竖列和主对角线上各数之和都是65之外,任意一条辅对角线上各数之和也等于65.

对于N=4m 一般都用对调法,制作起来很容易.如4阶幻方的排列法:

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

先将1-16按如上图排列好,再将非主对角线上的各个数关于中心对调,既成下图:

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

对于N=2(2m+1) 一般常用加边法,以6阶为例子,先排出4m=4阶的幻方,如上图,再将图中每一个数都加上[(2(2m+1))²-(4m)²]/2=8m+2=10,有下图:

11	25	24	14
22	16	17	19
18	20	21	15
23	13	12	26

在加上一圈格子,把1,2,3,...8m+2 和 (2(2m+1))²,(2(2m+1))²-1,(2(2m+1))²-2,...(4m)²+1+8m+2 这些数安排在外圈格子内,但要使相对两数之和等于16m(m+1)+5.对于 m=1 这些数是:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27


11	25	24	14
22	16	17	19
18	20	21	15
23	13	12	26

1	9	34	33	32	2
6	11	25	24	14	31
10	22	16	17	19	27
30	18	20	21	15	7
29	23	13	12	26	8
35	28	3	4	5	36

对于 N=2(2m+1) 也可以用对调法,将下图中的红色数字关于中心点对调

1	7	13	19	25	31
2	8	14	20	26	32
3	9	15	21	27	33
4	10	16	22	28	34
5	11	17	23	29	35
6	12	18	24	30	36

成为下图,但除了两条主对角线上各个数之和等于111外,其他均不相等,如下图:

36	7	24	18	25	6	行和116
2	29	14	20	11	32	行和108
34	9	22	16	27	4	行和112
33	10	21	15	28	3	行和110
5	26	17	23	8	35	行和114
31	12	19	13	30	1	行和106
列和141	列和93	列和117	列和105	列和129	列和81	111

但是上图也很有规律,如第一行多5,第六行少5,第二行少3,第五行多3,第三行多1,第四行少1.第一列多30,第六列少30,第二列少18,第五列多18,第三列多6,第四列少6.只要做如下对调即可: 24<->19 或18<->13;2<->5 或32<->35;9<->10 或 27<->28;34<->4 或33<->3;7<->25 或12<->30;14<->20 或17<->23;22<->16;21<->15;如下图是完成之后的六阶幻方:

36	7	24	13	25	6
2	29	20	14	11	35
34	9	16	22	28	4
3	10	15	21	27	33
5	26	17	23	8	32
31	30	19	18	12	1

幻方不仅仅可以用1-n²这些数填充,只要是等差数列,同样可以摆出幻方来.甚至还可以用一些有纪念意义的数字填充,比如法国画家丢勒(1471-1528)在他的一副画忧郁(Melancholia)中画了一个四阶幻方,就是我们上面做的那个,其中还暗藏着这副画的作画时间:1514年

1	9	34	33	32	2
6	11	25	24	14	31
10	22	16	17	19	27
30	18	20	21	15	7
29	23	13	12	26	8
35	28	3	4	5	36

1	7	13	19	25	31
2	8	14	20	26	32
3	9	15	21	27	33
4	10	16	22	28	34
5	11	17	23	29	35
6	12	18	24	30	36

36	7	24	13	25	6
2	29	20	14	11	35
34	9	16	22	28	4
3	10	15	21	27	33
5	26	17	23	8	32
31	30	19	18	12	1

1	9	34	33	32	2
6	11	25	24	14	31
10	22	16	17	19	27
30	18	20	21	15	7
29	23	13	12	26	8
35	28	3	4	5	36

1	7	13	19	25	31
2	8	14	20	26	32
3	9	15	21	27	33
4	10	16	22	28	34
5	11	17	23	29	35
6	12	18	24	30	36

36	7	24	13	25	6
2	29	20	14	11	35
34	9	16	22	28	4
3	10	15	21	27	33
5	26	17	23	8	32
31	30	19	18	12	1

1	9	34	33	32	2
6	11	25	24	14	31
10	22	16	17	19	27
30	18	20	21	15	7
29	23	13	12	26	8
35	28	3	4	5	36

1	7	13	19	25	31
2	8	14	20	26	32
3	9	15	21	27	33
4	10	16	22	28	34
5	11	17	23	29	35
6	12	18	24	30	36

36	7	24	13	25	6
2	29	20	14	11	35
34	9	16	22	28	4
3	10	15	21	27	33
5	26	17	23	8	32
31	30	19	18	12	1