李文先生：你好！
我用的是 12x12 的矩阵，其每一元素带有特定的意义，具有极大的自由度。
搜索第一个普通的 729 阶 5 次幻方参数矩阵，我仅需 3.16s；但搜索到第一
个我所提供的高级 729 阶 5 次幻方的构造参数，则需耗的时间要稍长一些。
我的理论具有普适性、灵活性、及极强的可扩展性，对于你所描述的“公式
类”一样地可以很好解决。
昨晚我对程序的界面稍稍进行了改动，使之更具观赏性。附件是最新的压缩
包。大家也可从如下网址下载：http://maths.myrice.com/software.htm
<http://maths.myrice.com/software.htm
注：该软件体积虽小，但可构造出互不同构的“高级 729 阶 5 次雪花幻方”
共 1961990553600 个。
另，你所提供的程序我至今无法运行。（我的“My Documents”设在 E: 盘，
不知是否与此有关？）
Best Regards,
Jason Guo, 2003-06-13
-----邮件原件-----
发件人: 李 文 [mailto:liwen39@hotmail.com <mailto:liwen39@hotmail.com ]
发送时间: 2003年6月13日 0:12
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linhail@pub.sy.ln.cn; lpj89@371.net; xlfdir@163.com; lijdo@sina.com;
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抄送: yizhenliu@21cn.com; haitao@szonline.net; csw@163.net; yzh@lzu.edu.cn;
guodayan@public.ty.sx.cn; hujunhua@sina.com
主题: Re: 729 阶 5 次雪花幻方
郭先强先生：你好！
来信收到非常高兴，终于看到了你的这一成果，对于你的成果的正确信我是完全相信
的。我一直相信你有能力解决任意的高次幻方，我也一直想知道你的高次幻方的理论和方法是否同我的一样，或是完全不一样。如果我们的方法完全不一样那是我最为高兴的，说明还有未探索到的真理需要我去努力。说来事情非常巧，就在你昨天奋战的时候，法国专家正在检验我的成果，今天已经通知我：我的729阶五次幻方完全正确。并请我介绍我的解法。对于我用特征向量----六阶行列式来解五次幻方，感到不同寻常，显然和国外专家解决1024阶五次幻方的方法大不一样。相信我的六阶行列式特征向量不少朋友早已看到，其中你也应该看到。不知我们的方法是大同小义？还是郭先生的方法更妙更绝？729阶五次特征向量，它不用电脑，手算一分钟时间就能找到，它的变形有许多。但在生成幻方和检验的时候确实要用电脑，手算心算是无法完成的。其实我的幻方有理论证明，就是不通过计算也可保证它是五次幻方。同时我还有一系列五次幻方的通用公式与通用特征向量，就是说只要将公式中的阶数改变就可得到不同阶数的五次幻方。
不知郭先生有否类似的公式？
祝大家好
李文
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辛' <penlee@sina.com, '任初农' <cnren@163.com, '林正禄'
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Subject: 729 阶 5 次雪花幻方
Date: Thu, 12 Jun 2003 18:01:41 +0800
Dear all:
我最终决定要开发一个“729 阶五次雪花幻方”的单行本，开发工作从昨天晚上
开始（害得我差点没失眠:(），今天终于完成了！同时提供给大家的有 VB 和 VC 两个版本，运行速度很快，制作一个幻方只需 1～3 秒，欢迎大家下载使用
<http://maths.myrice.com/download/r5n729.zip
<http://maths.myrice.com/download/r5n729.zip 。
VB 程序界面如下：
(VB)
VC 程序运行界面：
(VC)
两个程序功能基本一样。除了可生成一个固定的“729 阶 5 次雪花幻方”，还
可随机生成相同性质的幻方（总数达1961990553600种可能），每个幻方制作速度都非常快。每个幻方数据都可通过剪贴板复制，可方便地粘帖到 txt 或 Excel 中去，以便后续研究检验（推荐大家用最新版的 PowCalc
<http://maths.myrice.com/software.htm
<http://maths.myrice.com/software.htm 验证）。
VB 版的需控件'vsFlex7L.ocx'支持，只需先安装好 PowCalc
<http://maths.myrice.com/software.htm
<http://maths.myrice.com/software.htm 即可。
VC 版的则可运行于 Windows95 以上平台，无任何限制，而且速度更快！
如果有任何疑问，或建议，欢迎与我联系。
Best regards,
郭先强，2003-06-12
郭大焱、李文先生：两位好！
很高兴大家对“等幂和”问题进行讨论，借此机会，我说一下有关概念的来历。
我研究“等幂和”和“幻方”是将其辨证统一的，它们都强调“形”的组合、
“量”的确定。
从“形”上，我从一维着手，然后推广到二维、三维、四维。。。（所以，“等幂
和计算器”虽然是一维的，但用起来却很顺手）
从“量”上，修改“等幂和”定义：改变以往的“r 次方和为定值”狭隘定义，转
化为“r 次（加权）平均为定值”，这样（当元素数目一定时），积为定值，即“几何平均为定值”；倒数和为定值，则“调和平均为定值”；此时 r 分别为 0、-1，与
和、平方和时 r=1、2 等可和谐统一（推导需高等数学知识，见
<http://eslp.nease.net/product.htm http://eslp.nease.net/product.htm ，这是我提供给陈漱文先生的）
公式推导 <http://eslp.nease.net/product.gif
由于在“形”上，已再不拘泥于线、面，所以我把它们统称为“等幂和矩阵”（这
里，“矩阵”的概念也得扩展，以适应高维情形），不同的是，“幻方”为方阵有对角线问题，但归根结底都可降为一维情形。有时，低维情形的问题放在高维中研究会显得更简单明了，只是有时我们没意识到可在更高维而已，好比当初亚里士多德的“地心说”，及远古无法想象“地球是球状”的一样。
回到主题，为什么不称几“数”而称几“阶”呢？主要是考虑概念上的兼容统一，
比方说，一个向量我们可以把它看作是一维的，但我们同样可以把它看作二维的（甚至更高维，只是某些维上的分量尺度=1而已）；当然，如果孤立地去研究“等幂和”问题，确实“数”比“阶”更合适。
话又说回来，“K 组 N 阶 r 次数组链”确实并不贴切，实应为“KxN 阶（0，r）
次等幂和矩阵”（这里“0”表示该向普通等幂和性质，非特别申明，“0”暂不表示
“几何平均为定值”）；对于一个平面幻方，我们可说它是“NxN 阶（r1, r2, r3,
r4）次等幂和矩阵”，r3、r4 分别为主、副对角线的“等幂和次数”。但考虑到与外
界交流的方便，在没系统公开具体定义之前，还是沿用通俗的词语。另外“链”字也不贴切，因为，它们不存在顺序关系，好在是由于具有“传递性”，大家也就不太去追究罢了；如果称之为“阵”，则有个整体意味，这也许是提出“矩阵”概念的由来之一。
当初我抛出“8 组 3 次 4 <http://maths.myrice.com/florilegium/8r3n4.htm
阶“等幂和数组链””,主要是为了引出“是否存在“多组等幂和数组链”
<http://maths.myrice.com/guess.htm#03 ”这个问题，是否最小话并没花心思深
究，后来陆续接到一些朋友更好的结果，我就顺便也公布出来，大家有这个热情何乐而
不为？
郭大焱老师：您好！
我得先向您道个歉。今天收到了您的另一封mail，发现我又欠了一份人情。
您寄来的书我已收到，排版得非常精美，想必也是费了一番心血的，里面有许多是
您之前曾寄给我，我从中将代表性的发布在网上的作品。基于我们深厚的友情，及为人的准则，我打算给您按传统方式回一封信，于是将书带回家里，以便回信。
怎奈近段时间非常忙，平时工作上要赶进度，双休日又得买材料装修，把许多事都
耽误了（一个月前答应给家里寄婚纱照的，前天才寄出）。但无论如何，这些不应成为理由，说出来只求您能谅解。
下面回复您的一些问题：
1、.xls 是 Excel 文档，您需要先安装它才能正常阅读该类文件，Excel 一般已
被 Microsoft 集成在 Office 里；2、除了有许多对称的“等幂和数组”外，还有许多不规则的，如“ { 1, 7, 12 }
与 { 3, 4, 13 }” 具有二次等幂和性质，这类数据的搜索需要编写特殊程序。
由于您的书、信在家里，可能会遗漏某些问题。在我的记忆中，我曾在去年春节给
你通过电话，以后我们可以采用更直接迅速的方式沟通，比如短消息等（可惜我的手机被盗，现未配）。
另外，我计划开发更具针对性的程序给大家，比如，可以方便快捷地进行方阵的转
置、行（列）顺序的自动（手动）重排等，不知大家是否有此需求。
祝
身体健康！
郭先强，2003-06-24，周二，晚
-----邮件原件-----
发件人: 李 文 [mailto:liwen39@hotmail.com <mailto:liwen39@hotmail.com ]
发送时间: 2003年6月24日 17:53
收件人: guodayan2003@yahoo.com.cn
抄送: caomh17@2911.net; g2358@mail.wh.ah.cn; gxqcn@163.com; gy1397@sina.com;
pfch@vip.sina.com
主题: Re: 请教
郭大焱先生：您好！
关于名称：先前我在郭先强的网站上看到他们是这样称呼的，我只是沿用，本来用“阶”我觉得也是多余，但是否有什么来历，我不清楚。所以只敢照搬。先生所说改为“数”确实比“阶”更妥。但行不行可能要问问郭先强或者Chen Shuwen陈树（书）文。六数五次等幂和数组我给老高师的原文是用EXCLE文件格式，是有公式的。高传到网上没有用EXCLE文件格式，就无法方便的用公式表示了，只能给出具体的数字。两年多以前，这个问题是高老师首先请我研究的，德国人有十六阶三次广义幻方，中国当时还未发现，高请我们研究，研究这个问题要用到四组四数三次等幂和数组链，当时这个问题一天就解决了。但由此引出了一系列更广泛的问题：
一、四数三次等幂和数组行怎样求解，有没用公式？
二、四数三次等幂和数组链最长可能用多少组？
三、五数四次等幂和数组的类似问题？
四、任意次等幂和数组的类似问题？
这些都是非常难巨的问题，怎样研究确实比较困难。
由于一个的时间精力都有限，这系列问题我只研究了一部分就放弃了。
四数三次等幂和数组我找到了一个最好的算法，速度非常快，可求出最小的数组，而且
可以找到任意长的数组链，最多我找到了几百个相等的四数三次等幂和数组链，（2001。3。7郭先强在他的网上公布了8组3次四阶等幂和数组链，郭可能认为这是当时最好的结果，他不知道在这之前，我给高老师的答案中最多的是128组3次四数等幂和数组链，实际上已经可以做到任意多组），我还到另一个方法，可直接将二组变为四组，四组变为八组，128组变成256组，算法简单非常快速。
为了深入研究这个问题，我又发现了两次三数等幂和公式，四数三次等幂和公式、五数四次等幂和公式、六数五次等幂和公式。
七数六次等幂和公式和八数七次等幂和公式也应是有的，九数八次等幂和公式就不敢妄言，之上即便是有，恐也难发现。关于数组链问题就更为特殊了，三次四数等幂和数组链解决后，四次五数等幂和问题受阻，后只能放弃转而研究五次六数等幂和数链问题，非常顺利，首先用公式求得一对最小的六数五次等幂和数组，（和四数三次一样）每组数进行一个非常简单的变换，可得四组六数五次等幂和数组链，反复变换可得八组、十六组等，直到任意多组六数五次等幂和数组链。
六数五次等幂和数组链以上我已经试探过，没有类似漂亮完美的构造方法，因此能寻到三组以上是非常困难的。我对这类问题研究时间很短，还不够深入。郭先强、潘凤雏对问题也有研究，郭先强已研究多年，方法和我肯定不会一样，对这方面的问题也可向他们请教。你的附件是用WPS文件格式，我的电脑未安装这类软件，不能打开，用纯文本方式打开只能看到部分文字。WPS文件格式非常不方便，现在通行的方法最好是用EXCLE格式（计算或分析非常方便，还可用公式直接自动演算），其次是纯文方式（全世界通用）或者HTML（网上发布、网页制作的）格式、文字为主也可用WORD格式。
李文。
From: 大焱 郭 <guodayan2003@yahoo.com.cn
To: liwen39@hotmail.com
Subject: 请教
Date: Tue, 24 Jun 2003 11:58:00 +0800 (CST)
李 文先生：您好！
最近学习了您的‘六阶五次等幂和数组链’，对我启发很大，为此，我用它们尝试作了两种幻方，暂时称为‘六阶行（列）五次幻方’和‘六阶分部五次幻方’，请您审阅。看来六组以上的‘六阶五次等幂和数组链’，都可以构成‘六阶幻方’，所以把‘六阶五次等幂和数组链’改称为‘六数五次等幂和数组链’把‘阶’用在幻方和幻图上，您看行否？还想请教‘等幂和数组链’是如何构造的？12组、24组还能多吗？有公式表达吗？‘等幂和数组’作成‘幻方’，从‘幻方’中又能找出更多的‘等幂和数组’，可见‘等幂和数组’和‘幻方’的关系是何等地密切。您是这方面的专家，请多多指教，谢谢。祝
身体健康， 太原 郭大焱 2003。6
。24。
