大家好：
李先生好：
（本文群发，仍然借用postmaster@notia.com.cn邮箱）
谢谢李先生来信，虽不敢苟同先生的意见，但我还是希望把它当成学术讨论中
的冲动，而不是一种人身攻击。本来嘛，有不同意见大家争鸣，交流资料，加以沟
通，去粗取精，去伪存真，推动幻方研究发展，何乐而不为呢?所以，本着这种想
法，码几个字，算是作答。并将它附送各位幻方专家，我想李先生不会有意见吧？
因为我们何德何能，能私下去定幻方的一、二、三？

幻方真奇妙，它的妙处之一也在于各色人等都可以去触动它，在每一个层次上
都有一些问题可以去深究，就像在游戏中谁都可以获得闯关的乐趣一样。先生儿时
据说就获取的成果，敝人在不知晓秘籍的情况下居然闯了过去，乐趣不减分毫！难
道这要感谢网络晚出现了二十多年不成？否！

如果找到了貌似普适的方法，应该从数学原理上来解开构造的奥秘，经过数学
证明的东西才是真正可靠的，才是一个结论。否则验证再多，也只能是一个数学猜
想。是否有方法屡试不爽，但却未经过数学证明呢？应该是有的。歌德巴赫猜想、
费马大定理都需要继续证明，就甭说其它了。欧拉对类似三十六军官问题的结论猜
想因为印度科学家姗姗来迟的证明而推翻，虽然大科学家猜错了，但科学却维护了
她自己的尊严。今天的小学生怕是没有能力去证明任意阶幻方构造的问题，大约也
只是猜想而已，否则，我是真的替先生惋惜，孩提时代就有这种水平，换个登堂入
室的数学问题做下去，现在应该是一个很有建树的数学家了——今天活跃在国际上
的我国著名数学家陈永川们当年是没有这个水平的！

权威数学家、权威数学杂志曾经关于幻方问题分别传递过这样的信息，幻方在
国内外数学家中基本上无人研究，不是因为它难——在他们面前何难之有！而是因
为这个问题被认为无多大价值（理论及实际。当然他们的看法也不一定就对，也许
幻方真的能开出一片新天地）。因此，象我这样一个爱好者，入门级的，能力又
差！凭兴趣当成智力锻炼，高兴了得弄得弄，不高兴就歇着，不会把它当成多了不
起的东西。本人宣示第一个也好、多少年来也好，并不是要证明它就如何了不起，
大可不必紧张，也不要过于敏感，因为，上千年上万年乃至人类出现以来没有的东
西，现在，每天都在世界的犄角旮旯爆炸性地涌现，说明什么，说明事物在变化，
如此而已！关于幻方的研究，“高明的技巧”我是学不会了，但从头至今本人走来
的路却是正直的！相关成果（自己劳动得来的小果果）均由本人独立完成，如有方
法上的巧合，本人并不排斥他人对自己成果的享有权，不过先生要看好这丫头是不
是那丫头。先生的东西是什么，对调法如何说我管不了了，这丫头大概齐有如下特
征：

1、原方阵不是一个一般的等差数列（k是行距，t是相邻两行的首尾距，k可以
不等于t），先生的方法原来就是针对这种模型的吗？

2、我最后攻克的堡垒是利用x-y轴与主对角线的旋转补足N/2对元素值的调
整。对于三阶、五阶这样的低阶幻方，先生的对调法还管用吗，真的是跟我的一样
吗？——曾经有数学权威提出我的方法与舒文中先生的对调法是一样的，我提出此
疑问后，他撤回了这种看法。也曾经有人提出可以通过正交拉丁方的方法实现任意
阶幻方的统一构造，我提出此法6阶不可造，他撤回了这种看法。还是那句话，既
然是统一，一个都不能例外。既然是相同，也不应该有例外！所谓差之毫厘，失之
千里！

3、先生儿时的“真理”经过数学证明吗，没有经过实践的检验不能叫真理的
哦？
4、如果先生所提方法就是统一构造，当初何故不这样去称呼呢。李白曾诗咏
和氏璧，以喻世态：“抱玉入楚国，见疑古所闻。良宝终见充，徒劳三献君”。楚
厉王、武王、文王皆为王者，对着同一块“石头”，所见却大相径庭，苦的当然只
有和氏了，你说他刨那块石头干什么！

5、关于统一构造想多说两句。幻方构造的方法，一般都是以奇数阶幻方的构
造方法、偶数阶幻方的构造方法来分，过去没有统一构造的方法和称呼。其原因大
概是因为从上两类幻方构造方法的探索中感觉到单、双偶数阶的尚且不易合为一
种，统一构造就更加无从谈起，殊不知只要从数学原理分析入手，这种统一构造并
不是不可能实现的。本人提出的任意阶幻方统一构造的核心在于揭示了在原方阵两
条对角线上的元素和值都不发生改变的情况下，分别在所有对称行、对称列间互易
N/2对元素（或相当于N/2对元素的值）即可构造幻方的数学原理。原理上统一的昭
示，与按照原理去进行统一的操作是统一构造方法的特点。如果不细看，可能认为
它是由几种方法合成的哦。其实四种方法都有一个相同的构造骨架，完成这个骨架
之后，幻方基本也就造得了：
(1)单偶数阶、双偶数阶都是直接通过对称互易N/2对元素完成；
(2)对双偶基奇数阶（5、9、13……）：N/2=(N-1)/2+1/2,第一项
（N-1）/2对通过对称互易元素完成，第二项其实只有半对是通过半对称互易完
成——值上面就是相当于在对称行（列）互易“半”对元素；
(3)对单偶基奇数阶（3、7、9……）：N/2=(N-3)/2+3/2，第一项
（N-3）/2对通过对称互易元素完成，第二项其实只有1.5对是通过轴旋转完成——
值上面就是相当于在对称行（列）互易1.5对元素。明明白白的N/2对元素（或元素
值），怎能不叫统一呢？更何况(2)、(3)的第二项以“元素值”来代替“元素对”
调整都是固定数（一个半对，一个一对半），随N越大，其在N/2中的比例是极其小
的。对于这种小小的表面的不同，如果打一个比方，它就像中国统一以后两岸四地
（三地）也是各有特点一样：港澳昔为殖民地今为特别行政区犹如单偶数阶双偶数
阶之构造基本一致。大陆与台湾统一前后同为中国人治理，统一后制度不但可以不
同，台湾还可以保留军队，享有更高度的自治。犹如单偶基奇数阶与双偶基奇数阶
幻方构造之不同。难道我们可以说将来中国的统一不能算统一吗!——这只是一种
比照，不是硬要拿来在数学上说理的！
综上，本人认定了1、“……N/2对元素或元素值”就可以构造幻方为幻方构造
充要条件；2、“半N变换法”为统一构造；……至于，先生提到移动法造任意阶幻
方也要算统一，我就不太清楚了。我见过高源先生的著作中介绍过这种偶数阶幻方
的造法，奇数阶也能这样造吗，不清楚。同时也不知道它在理论上是否有数学模型
做基础，在具体构造上是否经过证明，对于真理我们从来是欢迎的，多一种统一的
路子为什么不要？

6、关于广义之称，论文及软件所提到的广义幻方是指符合于论文广义幻方定
义的幻方。广义幻方在数学上并无确切定义，为了不至于引起只单纯使用软件的朋
友混同于自己心目中的广义幻方，而产生误解，V3.07版软件名称改为“幻方统一
构造器”。至于论文，因为明确作了自恰的广义幻方定义，没有去除“广义”二字
的必要。虽然作了回避，论文的定义还是有一些支持根据的：
第一，《辞海》（79年版）中对“广义”解释为“范围较宽的定义，相
对于狭义而言。……”而不是如先生所言“广义”就是很广泛的定义，不是包罗万
象的幻方定义，可以有这种广义，那种广义；
第二，我在93年的拙文对幻方定义的拓展是被接受的；
第三，94年谈祥柏先生在他获国家科普图书奖的幻方著作中，以“推而
广之”，逐渐对幻方定义拓展，最终的定义也是这样看的；
第四，对于广义幻方定义，我虽然对先生的误解进行了处理（这是先生
信件的价值所在），但不同意先生对广义幻方的定义。首先，幻方原来的定义对于
参加构造幻方的元素范围有一个清晰的数学描述——原方阵是自然数方阵！推广也
应该是在可以比照的条件下进行数学描述的规范修改，如等差、等比、或上述定
义，不能无限制地放宽。如果只是用一个两两不等来描述，幻方的构造就无什么数
学规律可循，没有明确的数学原模型限制，将大大降低幻方的美感和数学价值！也
许先生现在要说等幂和幻方问题，是的，等幂和幻方好像也符合两两不等，但请不
要忘记这些所谓两两不等的元素还有一个明确的数学限制——遵循了一定的等幂和
的规则！对于等幂和幻方，说实在的郭先强先生的网站名起得好，“等幂和·幻
方”。等幂和幻方是横跨在等幂和与幻方两个数学问题上的东西，本人以为它的价
值更多的是在等幂和问题上。可以这样说包罗万象的广义幻方的定义是不存在的，
但在特定场合下，作自恰的定义或称呼是可以的。

7、V3.07版完善了V3.06版资源不足的显示提示不清，及此时不能清屏后继续
构造幻方的bug。如300阶，a0为1，k为9999999999999999，t=1等构造中出现的数
据类型越界问题。有兴趣者，请重新下载！
http://www.notia.com.cn/longsong/hfgz/MagicSquarePro.zip 

8、诸位都是幻方专家，成果十分丰富，值得学习！对于大家共同创造的良好
学术氛围同样值得我们共同去珍惜。 
此祝 大家夏祺！
任初农 2003年7月8日星期二

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-----邮件原件-----
发件人: 李 文 [mailto:liwen39@hotmail.com] 
发送时间: 2003年7月1日 16:59
收件人: cnren@163.com
主题: Re: 关于命名的答复

任先生好
文章我大致看了一下，
先前我一直认为先生有什么高明的技巧能正直统一幻方的构造。
看了先生文章，我对先生的提法认为不妥，甚至容易让人误解。
首先先生的方法不能说是统一，根本就没有统一。仍然是分几种情况分别求解。
更重要的是，这种方法是最基本的对调法。
很多人对会，是入门级的方法。
本人的亲身经历，二十多年前，还在上小学的时间就能用对调法解任意阶幻方，
（当然
包括对调法解奇阶幻方原理当然和先生一样。真理当然只有一个。）
除对调法之外，还有一种叫移动法，也分几种情况，可构造出任意阶幻方。如按先
生之
观点这也可叫统一方法只是先生可能忽略这种统一移动法。
先生对广义幻方的定义也是不妥的。
原因有二：
一、与目前大家认可的广义不同，这种不同会使大家产生误解。
二、广义是大家比照数学上其它广义概念而得，不知先生的广义是怎么来的。
广义顾名思义是非常广泛的意思。而先生的广义是不够广泛的。
目前大家认为的广义是由两两不重复的元素组成的幻方，为了研究的方便，一般广
义幻
方大家还是选用非负整数。但用负数或小组也是可以的。先生广义显然只是大家的
广义
的一个很小的子集。
先生的广义与普通幻方都属于等差系列的幻方。所有等差系列组成的幻方在方法和
原理
是一样的，没有任何差异。细分就失去了意义。
而非等差数组成的幻方，方法和原理就有不同或者有明显的差别。
如六阶完美幻方只能由非等差数组成，三十六阶五次幻方也只能是非等差数组成。
当然
这两个幻方都只能叫广义幻方。
以上意见只是本着大家友好交流，言词有不妥之处请海涵。
李文

大家好：
李先生的信是回复我“关于命名的答复”（回复caolin先生关于完美幻方优
化……的命名问题信件）信的，就是我7月1日附送给大家的那封信。遗憾的是他没
有一句是回复“关于命名的答复”的。为防误解我与他作了其他讨论，特对刚发信
件作此补充！
任初农