二、三阶、四阶幻方制作方法的初步介绍

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                             A              B  对角对调       C   各数旋转

                             图 1 — 4   三阶幻方制作过程图        

         图 1 — 4A 称为 三阶 自然方阵 （它是将从数 1 起的九个连续自然数按从小到大的顺序依次填写而得到的）， 人们常常以自然方阵为 初始方阵 制作幻方。例如可以用“ 对角对调，各数旋转 ” 的方法制作三阶幻方，具体的说是：

       1 、将图 1 — 4A 的两组对角的数对调   （例如数 1 与 9 对调），得到图 1 — 4B 。 2 、将图 1 — 4B 的各个数顺时针方向旋转 45 度（中心数 5 也可以说是旋转了），就得到图 1 — 4C 所示的三阶幻方。  

           这里再介绍四阶幻方的一些制作方法。图 1 — 5A 是四阶自然方阵（它与三阶方阵的排列规律完全相同），将它的两条对角线上的各个数倒排，就得到图 1 — 5B 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5B 的中间两列对调，又得到图 1 — 5C 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5C 最后两列左右翻折得到一个新的四阶方阵（此过程图从略，请读者自己制作），再将新方阵最后两行上下翻折，所得到的图 1 — 5D 也是一个四阶幻方。这里我们以图 1 — 5A 为初始方阵，连续制作了三个四阶幻方。   制作这 3 个幻方的方法都是很简单的。

        从以上制作幻方的实例来看，制作三阶幻方及少量的四阶幻方，简直是举手之劳。在后文中我们将会看到，制作其它阶数的幻方也都是容易的。安徽芜湖王忠汉老先生常说，“只要是会做加减法的人，经过一个小时的训练，   就能学会制作多种幻方”，情况确实如此。

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  A   自然方阵        B   两对角线倒排      C   交换中间两列        D   再作变换

                        图 1 — 5   制作四阶幻方的一组例子

            一般说来，   当阶数 n 是大于 2 的整数时，   对于由从 1 开始的 n 2 个连续自然数组成的 n 阶幻方，   计算它的幻和的公式是：

       S  n  =n ×（ n  2  +1 ）／ 2   

（其中， n 2  读作 n 的平方，它表示将数 n 与它本身相乘所得到的结果。类似地，用 n 3   表示三个数 n 连乘，读作 n 的立方），例如：  S  4   = 4 ×（ 4  2  +1 ）／ 2 = 34 ， S  5  = 5 ×（ 5  2  +1 ）／ 2 = 65 ， S  6  = 6 ×（ 6  2  +1 ）／ 2 = 111 ， S 8  = 8 ×（ 8  2  +1 ）／ 2 = 260 ， S 10  = 10 ×（ 10  2  +1 ）／ 2 = 505 。这个公式请读者记住。