三、互补数与中心对称幻方的概念  

          在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对 互补数   （特别地，中心数 5 与它本身是一对互补数） 。 在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对 互补数 。 一般说来， 在 n 阶幻方中，某两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和，称它们为一对 互补数 。例如 11 阶幻方中最大的数是 121 ，该幻方中的 56 与 65 是一对互补数。

        在图 1 — 6B 这个四阶幻方中，我们用不同的字体或小圆点标记了 3 对数： 3 与 14 、 8 与 9 、 3 与 14 。我们说，这 3 对数在这个幻方中都是 成中心对称 的。在每一个四阶幻方（四阶方阵）中，都有 8 对成中心对称的数。   同样，在三阶幻方（三阶方阵）中，有四对数是成中心对称的 。 特别地， 奇数阶幻方的中心数（指中心方格的数）与它本身是中心对称的   。注意：偶数阶 幻方没有中心数。

     1     2     3     4       16    2       3.  13       16     3    2   13         16   3   13    2

     9   10   11   12          9     7      6    12         9     6    7   12          9    6   12    7

     5     6     7     8        5    11    10      8          5   10   11    8          4  15    1   14

   13   14   15   16        4   14.   15    1         4   15   14    1          5  10    8   11

     A   初始方阵         B   两对角线倒排    C   交换中间两列       D   再作变换

                              图 1 — 6   制作四阶幻方的又一组例子

           在图 1 — 6B 中，每一对成中心对称的数同时恰好都是互补

数，我们说图 1 — 6B 与图 1 — 6C 幻方都是中心对称的。

         一般说来，   如果一个幻方的每一对成中心对称的数都是一对互补数，   称这个幻方为 中心对称幻方 。 图 1 — 1 、图 1 — 2A 、图 1 — 2B 幻方也都是中心对称幻方。图 1 — 6D 则不是中心对称的幻方（这个幻方中的数 16 与 11 是中心对称的，而这一对数不是互补的。请注意，在幻方中，只要有一对成中心对称的数不是互补的，我们就可以判定该幻方不是中心对称幻方）。类似地，有 中心对称方阵 的概念，例如图 1 — 1A 这个三阶自然方阵与图 1 — 5A 这个四阶自然方阵都是 中心对称的方阵（一般说来，任何阶数的自然方阵都是中心对称的）。另外图 1 — 6A 也是一个中心对称四阶方阵。

        这里给出中心对称幻方的一个重要的结论 ： 在任何一个中心对称幻方中，每一对上下对称的两行上诸数之平方和总是相等的，每一对左右对称的两列也是这样   。 例如顺数第二行与倒数第二行是上下对称的两行是上下对称的两行。图 1 — 6B 幻方中，第二行诸数之平方和是 81+49+36+144 = 310 ，第三行诸数之平方和是 25+121+100+64 = 310 ，两者确实是相等的；该幻方第一行诸数之平方和与第四行诸数之平方和都是 438 。

又如在下页图 1 — 7E 这个五阶幻方中，每一对和为 26 的数（例如数 1 与 25 、数 2 与 24 、数 3 与 23 、数 11 与 15 的和都是 26 ）在该幻方中都是成中心对称的，这个幻方是中心对称的五阶幻方。它的第二行诸数之平方和为 144+64+16+625+256 = 1105 ，第四行诸数之平方和为 100+1+484+324+196 = 1105 ，两者也确实是相等的。它的第一行、第五行诸数之平方和都是 1155 ；它的第一列、第五列诸数之平方和都是 1055 。

        请注意，这里所介绍的中心对称幻方的一个重要性质，表明中心对称幻方是一种 比较规范、比较优美的幻方。本书把中心对称幻方作为一个研究的重点。