五、用纵横错位法可制作 12 个五阶幻方

         这种制作方法有很大的灵活性。 1 、步骤 1 中移动的格数可以变通，可将“ 1 格”与“ 2 格”分别变成“ 2 格”与“ 4 格”。图     就是作这种变通的纵向错位得到的五阶方阵，这种错位方法简称为“上 2 ”错位方案，其中“上 2 ”是指左 1 列“向上移动 1 格”。 2 、步骤 1 中移动的方向可以全部变成与原方向相反的方向。图 1 — 8B 就是“下 1 ”错位得到的五阶方阵、图 1 — 8C 与图 1 — 8C 也是纵向错位得到的五阶方阵。总之，制作五阶幻方时有“上 1 ”“上 2 ”、“下 1 ”、“下 2 ”共四种不同的纵向错位方案。 3 、步骤 3 中移动的格数与移动的方向也同样可以变通，制作五阶幻方时也有四种不同的横向错位方案。

    21   12     3   19   10         16   22     3     9   15            6   17     3   14   25

      1   17     8   24   15         21     2     8   14   20          11   22     8   19     5

      6   22   13     4   20           1     7   13   19   25          16     2   13   24   10

    11     2   18     9   25           6   12   18   24     5          21     7   18     4   15

    16     7   23   14     5         11   17   23     4   10            1   12   23     9   20

    A   “上 2 ”错位         B   “下 1 ”错位           C   “下 2 ”错位

      9   15   16   22     3         22     3     9   15   16         15   16   22     3     9

    20   21     2     8   14         14   20   21     2     8           8   14   20   21     2

      1     7   13   19   25           1     7   13   19   25           1     7   13   19   25 

    12   18   24     5     6         18   24     5     6   12         24     5     6   12   18

    23     4   10   11   17         10   11   17   23     4         17   23     4   10   11

    D   “下 1 、左 1 ”         E   “下 1 、右 2 ”       F   “下 1 、左 2 ”

                  图 1 — 8   纵横错位法制作五阶幻方再举例

        将某一种纵向错位方案得到的五阶方阵再作横向错位时，是不是可以采用全部（四种）方案呢？我们先考察作“下 1 ”纵向错位得到的五阶方阵（图 1 — 8B ）它的上 1 行有一个数 14 是属于自然方阵中心行的，如果将改图再最横向移动时使数 14 位于数 13 的上方，不难发现所得到的五阶方阵第一列各数就是自然方阵第一行的数，所得到的方阵不是五阶幻方。这表明“下 1 ”错位方案与“左 1 ”错位方案两者不能配合使用。对于这种情况简记为“下 1 不能配左 1 ”。类似地，考察图 1 — 7C 可以得到“上 1 不右 1 ”，考察图 1 — 8A ，可以得到“上 2 不能配右 2 ”，考察图 1 — 8C ，可以得到“下 2 不能配左 2 ”。综合起来得到： 以五阶自然方阵为基础，用纵横错位法制作五阶幻方时，对于每一种纵向错位方案，都有三种也只有三种横向错位方案可以与它配合，因而用纵横错位法可以制作也只能制作 12 个不同的五阶中心对称幻方 。图 1 — 8 中的三个五阶幻方就是将图 1 — 8B 这个方阵作横向错位所得到的全部五阶幻方。

         由于图 1 — 8 中的三个五阶幻方，   都是将“下 1 ”错位得到的同一个五阶方阵，按不同的横向错位方案进行制作时，也就是将同一个五阶方阵的各行重新抄写（只是具体的位置有所不同），因而制作这些不同的幻方是是很快捷的。

         这种制作方法对低年级小学生进行推介较为适合，为了降低难度并且增加趣味性，必要时还可以将 25 个大小相同的积木贴上纸条，分别写上从 1 到 25 这些数。将这些积木进行错位就方便得多了。总之这种方法比第四章所介绍的主步转向步法等方法要复杂一些。这里介绍纵横错位法，一方面是对于初学幻方的读者，较易于接受；另一方面是为了便于向低年级小学生普及幻方知识。

         这里所介绍的平移复位，是一个很重要的概念。我们在研究幻方时，一定 要把幻方看成是上下相连成圆筒形的，把它的第一行可看成最后一行下面的一行；它的每一列第一个数，可以看成这一列最后一个数的下方的数。同样，我们又把幻方看成是上下相连成圆筒形的，把它的第一列看成是最后一列的右方的一列；它的每一行的第一个数，也可以看成这一行最后一个数的右方的数 。 这种变通的观点，就是平移复位的依据。这种移动，在好几种制作方法中都要用到。