七、   n 阶幻和数组与 n 阶幻和图形

          这一节，介绍两个重要的概念：幻和数组与幻和图形。

          一、   在 n （  n 为整数）阶幻方中，如果某 n 个数的和

等于该幻方的幻和，称这个数组为 n 阶幻和 数组， 简称为 幻和数组 。 据幻方的概念可得结论： 任何一个 n 阶幻方的各行、各列及两条对角线上的数组都是 n 阶幻和数组 。    

         二、一个 n （ n 为整数， n 大于 2 ）阶幻和数组在某个 n 阶幻方中所确定的图形称为该幻方的 幻和 图形 。任何一个幻方的各行、各列都是该幻方的幻和图形；又如在图 1 — 10D 四阶幻方中，标粗体字的四个数 14 、 7 、 11 、 2 的和是 34 （幻和），这四个方格也组成一个该幻方的一个幻和图形。

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          A    田格示意图               B  Q 方示意图            C   变形田格示意图

           14  7       9     4                16     2       3    13                   9     4   14       7

           11  2      16     5                5   11   10     8                16     5   11     2

          8   13     3   10                  9    7       6     12                  3   10     8   13

          1   12     6   15                4   14   15     1                    6    15    1     12

                    D                               E                                F

            图 1 — 10   某些四阶幻方的三种固定位置幻和图形

           另外还给出四阶幻方的几个概念：   将四阶方阵横竖分成四个小正方形（   每个正方形含有四个方格），每一个小正方形称为一个 田格（ 它与汉字中的“田”字相似，故称为田格）。一个四阶幻方的四个田格依次称为左上田格、右上田格等；图 1 — 10A 是田格示意图。类似地，有 Q 方 与 变形田格 的概念，图 1 — 10B 是 Q 方示意图，图 1 — C 是变形田格示意图。

         图 1 — 10D 的四个田格数组（ 14 、 7 、 11 、 2 ）、（ 9 、 4 、 16 、 5 ）、（ 8 、 13 、 1 、 12 ）、（ 3 、 10 、 6 、 15 ）中诸数之和都等于幻和 34 ，表明四个田格确实都是该幻方的幻和图形。  

         图 1 — 10E （或图 1 — 10F ）幻方中的各个田格也是该幻方的幻和图形（例如 E 图的左上田格中四数 16 、 2 、 5 、 11 的和是 34 ），这组实例表明四个田格是这三个四阶幻方公共的幻和图形。类似地，图 1 — 10B 所示的 Q 方（以及图 1 — 10C 所示的变形田格）也是图 1 中三个四阶幻方公共的幻和图形。例如图 1 — 10E 幻方中（ 16 、 3 、 9 、 6 ）、（ 2 、 13 、 7 、 12 ）、（ 5 、 10 、 4 、 15 ）、（ 11 、 8 、 14 、 1 ）这四个 Q 方数组中诸数之和都是 34 ，就表明四个 Q 方是该幻方的幻和图形。

         图 1 — 10 的前三个分图不仅是图 1 — 10 中三个四阶幻方的三组固定位置的幻和图形，在第二章，我们将会指出有 432 个四阶幻方都具有这三组固定位置幻和图形。

         顺便提及，据幻和图形的概念， 一个幻方有多少个幻和数组，它就有多少个幻和图形 。例如四阶幻方有 86 个幻和数组（本书不逐个列举四阶幻方的 86 个幻和数组），每一个四阶幻方都有 86 个幻和图形。

         顺便指出： 1 、   三阶幻方是一个很特殊的幻方，这种幻方一共只有 8 个幻和数组（就是三行、三列、两条对角线上的 8 个幻和数组），这表明，除了三行、三列、两条对角线这 8 个幻和图形以外，三阶幻方再没用别的幻和图形。 2 、幻和数组的数量的增加是非常迅速的。三阶幻和数组只有 8 个、四阶幻和数组有 86 个、五阶幻和数组有 1000 多个。