八、翻折图、旋转图及幻方的计数规则

           在图 1 — 11 中有八个分图，它们是不同的三阶幻方吗？   我们来考察一下。

         4     9     2             8     3     4            6     1     8            2     7     6

         3     5     7             1     5     9            7     5     3            9     5     1

         8     1     6             6     7     2            2     9     4            4     3     8

               A                          B                          C                         D

         2     9     4             4     3     8            8     1     6            6     7     2

         7     5     3             9     5     1            3     5     7            1     5     9

         6     1     8             2     7     6            4     9     2            8     3     4

               E                           F                         G                         H

                                 图 1 — 11   旋转图与翻折图   

        将 A 图顺时针方向旋转 90 度，得到 B 图；将 A 图顺时针方向旋转 180 度，得到 C 图；将 A 图顺时针方向旋转 270 度，得到 D 图。 B 图、 C 图、 D 图都称为 A  图的 旋转图。 将一个图形整体旋转，所得到的图形与原来的图形实质上是相同的，据此可知 A 、 B 、 C 、 D 这四个分图是实质相同的三阶幻方。

        将 A 图左右翻折，   得到 E 图；将 A 图作关于左上对角线的翻折，得到 F 图；将 A 图作上下翻折，得到 G 图；将图 A 作关于右上对角线的翻折，得到 H 图。 E 、 F 、 G 、 H 这四个分图称为图 A 的 翻折图 ， 由于作任何一种整体翻折，方阵的实质也不变，   可知这四个三阶幻方也是与 A 图实质相同的三阶幻方。总之，在计算三阶幻方的个数时，图 1 — 11 中的八个幻方只能算作一个三阶幻方。

        一般地，任何一个幻方都有四个旋转图（包括它本身），也都有四个翻折图。我们在计算幻方的数量时，将这 8 个不同形式的幻方只算作一个幻方，这就是 幻方的计数规则 。例如在第 2 页的图 1 — 5 中，将 A 图的两条对角线上的数倒排得到 B 图、如果将 A 图中的 5 与 12 、 8 与 9 、 3 与 14 、 2 与 15 这四对数同时对调得到另一个方阵 P （这个方阵留给读者自己制作，经检验它也是一个四阶幻方），我们会发现这个新的四阶幻方与将 B 图旋转 180 度所得到图形完全相同，因此方阵 P 与 B 图是同一个四阶幻方的不同表现形式。这表明，用不同的方法进行制作，有可能得到同一个幻方（例如将五阶自然方阵先旋转 180 度，再用纵横错位法制作的 12 个五阶中心对称幻方，与上文中所制作的 12 个五阶中心对称幻方整体上是相同的），这是制作幻方时应注意的一点。

         顺便一提，据幻方的计数规则，三阶幻方只有一个，四阶幻方有 880 个。