十、行   列   重   排   变   换

        在第 3 页的图 1 — 6 中，   从 B 图到后两个分图的变换我们已经作了介绍，其中有将幻方的各行重新排列、或将幻方的各列重新排列、或连续进行这两种变换。我们将这些变换总称为幻方的 行列重排变换 。一般说来，将任何一个幻方作行列重排变换所得到的新方阵也一定是行列等和方阵，只要新方阵的两条对角线上诸数之和都等于幻和，新方阵就一定是一个新的幻方。由于行列重排变换往往能制作新的幻方，我们有必要对这一类变换作一些研究。  

        在图 1 — 13 中，从 A 图到其它各个分图都是作行列重排变换，所采用的变换标记在相应方阵的下面；同时我们又在方阵的上方与左方给出了一组数码，左方的是 行重排码 、上方的是 列重排码 。变换前的 n 阶方阵的左方与上方应该将数 1 ～  n 各个数依次排列（这一套数码不妨称为 初始码 ）。例如从 A 图到 B 图是将第 3 、第 4 行交换，然后又将第 3 、第 4 列交换（凡是连续作变换的，读者自己补充一个过程图为宜），我们就在 B 图的左方与上方都标记“ 1 ， 2 ， 4 ， 3 ”这一组重排码。

        在某个行列重排变换中，如果行方向与列方向的重排码相同，我们称这个行列重排变换称为 行列同步重排变换 。在图 1 — 13 中，从 A 图到 B 图或到 C 图都是作的行列同步重排变换，所采用的重排码都标记在幻方的下方。

           1     2     3     4                1     2     4     3                 1     4     2     3

   1       1   14   12     7        1      1   14     7   12        1       1     7   14   12

   2       8   11   13     2        2      8   11     2   13        4     10   16     5     3

   3     15     4     6     9        4    10     5   16     3        2       8     2   11   13

   4     10     5     3   16        3    15     4     9     6        3     15     9     4     6

     A   变换前的幻方          B   “行列 1243 ”重排       C  “行列 1423 ”重排

                      图 1 — 13      幻方作行列同步重排变换的例子

         如果将图 1 — 13A 幻方作“   行列 3 4 2 1  ”同步重排变换，不难发现所得到幻方与图 1 — 13B 幻方实质相同（将两者中的某一个旋转 180 度就得到另外一个）。一般说来，如果两个重排码的排列顺序恰好是相反的（例如“ 1 2 4 3 ”与“ 3 4 2 1 ”），那么按照这两个重排码作行列同步重排变换所得到的两个幻方总是实质相同的。据此，我们今后作行列同步重排变换时，往往全部采用第一个数码小于最后一个数码的重排码（例如在“ 1 2 4 3 ”与“ 3 4 2 1 ”中、或者“ 2 1 4 3 ”与“ 3 4 1 2 ”中，我们只采用其中的前一个作为重排码）。