十一、行列对称重排变换

         在图 1 — 14 中，我们仿照图 1 — 13 标记初始码及所采用的两个方向的重排码，这里的两个方向的重排码是不相同的。用文字表示这些变换就较为复杂，例如其中从 A 图到 C 图应记作“行 2 1 3 5 4 ；列 5 2 3 4 1 ”变换。

              1     2     3     4    5                  1    2     3      4     5                 2     1     3     5     4

    1     14   10     1   22   18        2      20   11     7     3   24        5     23     2   19     6   15

    2     20   11     7     3   24        1      14   10     1   22   18        2     10   14     1   18   22

    3     21   17   13     9     5        3      21   17   13     9     5        3     17   21   13     5     9

    4       2   23   19   15     6        5        8     4   25   16   12        4       4     8   25   12   16

    5       8     4   25   16   12        4        2   23   19   15     6        1     11   20     7   24     3 

     A   变换前的幻方                       B                              C   

               图 1 — 14   五阶中心对称幻方的行列对称重排变换

          在图 1 — 14 中所列举两个行列重排变换有一个共同特点，就是原来上下对称的两行在变换后仍然是上下对称的，列方向的左右对称也是这样   ，这一类行列重排变换称为 行列对称重排变换 （据这种变换的特点不难看出，变换前的每一对成中心对称的数在变换后仍然是成中心对称的）。

         一般说来，   将一个中心对称的幻方作任何一种行列对称重排（一个方向的或者两个方向的），所得到的一定仍然是中心对称幻方。 行列同步对称重排变换是制作新的中心对称幻方的重要方法。

         对于五阶中心对称幻方来说，只有“ 1 2 3 4 5 ”、“ 1 4 3 2 5 ”、“ 2 1 3 5 4 ”、“ 2 5 3 1 4 ”四个实质不同的对称重排码。将五阶中心对称幻方作行列对称重排变换时，行重排码有四种可能、列重排码也有四种可能；因此，每一个五阶中心对称幻方都可以作行列对称重排变换制作 16 个不同的五阶中心对称幻方（包括原幻方）。   例如将第 6  ～  8 页将用纵横错位法所制作的 12 个五阶中心对称幻方分别作各种行列对称重排变换，可以形成一个由 192 个各不相同的五阶中心对称幻方组成的五阶中心对称幻方大家族。

         作行列对称重排变换所采用的重排码称为 对称重排码   ，   这种重排码有一个共同的特点：每一组到首尾两端距离相等的两个数码的和总是等于阶数与数 1 的和。例如“ 9 2 4 7 5 2 6 8 1 ”是一个九阶对称重排码（这里不给出九阶中心对称幻方作对称重排变换的实例）。

    2   14   11     7        2   11   14     7      13     1   12     8     13   12     1     8

    1   13     8   12      15   10     3     6      14     2     7   11       4     9   16     5

  15     3   10     6        1     8   13   12       4   16     9     5      14     7     2   11

  16     4     5     9      16     5     4     9       3   15     6   10        3     6   15   10

 A  原来的幻方     B  “ 1 3 2 4 ”     C  “ 2 1 4 3 ”    D  “ 2 4 1 3 ”

（即“ 1 2 3 4 ”）

          图 1 — 15   一个四阶幻方的全部行列同步对称重排变换

         如果某个变换既是行列同步重排变换又是行列对称重排变换，这种变换称为 行列同步对称重排变换 。例如对于任何一个四阶幻方来说，取“ 1 3 2 4 ”、“ 2 1 4 3 ”、“ 2 4 1 3 ”这三个重排码所作行列同步重排变换，都是行列同步对称重排变换，四阶幻方共有四种行列同步对称重排变换（另外一种就是不作变换）。图 1 — 15 是一个四阶幻方的全部行列同步对称重排变换（各个幻方所采用的重排码都标记在图的下方）。

        请读者注意：  1 、行列重排变换是一个大类别，行列同步重排变换与行列对称重排变换都是其中的特殊的、较小的类别。 2 、图 1 — 14A 是一个比较特殊的、较为优美的五阶中心对称幻方，其中所有的奇数集中排列在幻方中的一个斜置的小正方形内，而所有的偶数都分布在小正方形的外面。但是将它作各种行列对称重排变换后得到的另外 15 个五阶中心对称幻方都没有这个特点。