十二、泛对角线与完美幻方
图 1 — 16A 是一个很特别的四阶幻方，将它作图中所标记的三种行列移动变换时，所得到的方阵仍然都是四阶幻方。图 1 — 16A 幻方在结构上具有怎样的特点呢？在图 1 — 16 中，我们来考察 B 图幻方的左上对角线上的四个数（就是在 A 图中用粗体字标记的四个数 14 、 2 、 3 、 15 ），会发现它们分布在 A 图中与左上对角线相同方向的斜线上（四个数被分成了两部分）；类似地，我们发现 C 图幻方的左上对角线上的四个数 6 、 4 、 11 、 13 也分布在 A 图中与左上对角线相同方向的斜线上（四个数也被分成了两部分）。这种新出现的分成两段的斜线图形，称为四阶幻方的 左上泛对角线 , 。类似地，可以得到四阶幻方的 右上泛对角线 的概念，例如（ 4 ， 16 ， 13 ， 1 ）与（ 5 ， 3 ， 12 ， 14 ）是图 1 — 16A 幻方的两个右上泛对角线数组。幻方的两个方向的泛对角线总称为 泛对角线 。
1 12. 6 15 14 7 9 4 6 15 1 12 14 7 9 4
14 7 9. 4 11 2 16 5 9 4 14 7 11 2 16 5
11 2 16 5. 8 13 3 10 16 5 11 2 8 13 3 10
8. 13 3 10 1 12 6 15 3 10 8 13 1 12 6 15
A 变换前的幻 方 B 移动 1 行 C 移动 2 列 D 移动 3 行
图 1 — 16 一个四阶幻方作行移动变换的例子
一般说来， 包括对角线在内，每一个 n （ n 为大于 2 的自然数）阶幻方都有 2n 条泛对角线 。
据图 1 — 16 中后三个方阵的两个对角线数组仍然是幻和数组，可知图 1 — 16A 幻方的每一条泛对角线上的数组都是幻和数组。一般来说，如果一个幻方的每一条泛对角线上诸数之和都等于该幻方的幻和，这个幻方称为 完美幻方 、或 全对角线幻方 、或 全等幻方、 或 纯幻方 。图 1 — 16 A 就是一个四阶完美幻方。
据完美幻方的组成特点可得： 如果幻方 E 是一个完美幻方，那么将它作任何一种行列移动变换所得到的方阵一定仍然是完美幻方。
上述结论是完美幻方的一个很重要的结论，这个结论说明完美幻方确实是一种很优美的幻方。依据这个结论可以由某一个 n 阶完美幻方，可以得到 n 2 个 n 阶幻方（包括原来的幻方），显然这些幻方都是 n 阶完美幻方。请读者注意：每一个 n （ n 是大于 2 的整数）阶完美幻方至少有 4n 个固定位置的幻和图形：行、列与两个方向的泛对角线。
4 23 17 11 10 18 9 25 11 2 9 18 2 11 25
12 6 5 24 18 12 3 19 10 21 12 21 10 19 3
25 19 13 7 1 6 22 13 4 20 20 4 13 22 6
8 2 21 20 14 5 16 7 23 14 23 7 16 5 14
16 15 9 3 22 24 15 1 17 8 1 15 24 8 7
A B C
图 1 — 17 三个五阶中心对称完美幻方
这里再给出图 1 — 17 中的三个五阶完美幻方（它们都是中心对称的），供读者欣赏。
我们已经给出了幻方的计数规则，这里再介绍 完美幻方的计数规则 ： 在计算完美幻方的数量时，人们把将某个完美幻方作各种行列移动变换所得到的各个完美幻方只算作一个完美幻方 。
据这一计数规则，图 1 — 17 中的四个完美幻方是同一个四阶完美幻方。请注意，在计算幻方的数量时，这些作行列移动变换所得到的各个幻方应算作不同的幻方。