十五、    幻   方   简   史

         世界上最早的幻方是中国古代的九宫图（三阶幻方），又称为 洛书。   为什么称为洛书呢？据说洛水中的一只乌龟背上的花纹组成三阶幻方（文献 [2] 及另一些数刊上均刊有这个图形，该图不是数字排列的图形，而是由九组“小花”组成的。某一组“小花”有 6 个，看成是数 6 ）。

         幻方的研究，   在很长的时间内发展是很慢的，   一直到南北朝时的一本书上才出现九宫图的文字说明。   又经过很长的时间，到南宋时，出现了一个研究幻方的高潮。当时的数学家杨      辉称幻方为 纵横图。 在他所著的《续古摘奇算法》（ 1275 年）中，不仅对九宫图作了科学的说明：“ 九子斜排，左右相更，上下对易，   四维挺出”（ 这 16 个字的含义，参看图 1 — 22 ），   还构造了四到九阶纵横图各若干个，另外有一个 10 阶行列等和方阵。在他以后，明朝的程大位、王文素，清朝的方中通、张    潮等对幻方都有较深的研究。张     潮的“更定百子图”   可能是历史上最早的 10 阶幻方。此后，幻方的研究一度冷落。到清朝光绪年间，幻方的研究者又多了起来，出现了一批论述幻方的文章。

                     1                                          9                                 4     *     9    *     2

            4     *     2                             4     *      2                         *     *     *     *     *

     7     *     5     *     3               3     *     5     *     7                   3     *     5     *     7

            8     *     6                             8     *      6                         *     *     *     *     *

                   9                                          1                                  8     *     1     *     6

   A   九子斜排       B   左右相更，上下对易      C    四维挺出

                   图 1 — 22   杨辉对九宫图所作的科学说明   

        伊拉克人柯拉（ 836 — 901 ），   是中国以外最早研究幻方的人。印度对幻方的研究也比较早，在印度的一个地方发现了一块 11 世纪的、上面刻有四阶完美幻方的古碑。

      14 世纪初，希腊人莫司科普鲁斯将中国的幻方介绍到欧洲去。不久，德国作家阿格里帕（ 1486 — 1535 ）作出了四到九阶幻方。以后研究幻方的人越来越多，包括大数学家欧拉与富兰克林。

        在 17 世纪初，卢培发现了编造任何奇数阶幻方的一种统一方法，这种方法非常简单。意大利人 Vacca 将奇数与偶数分开填写编造成一个九阶幻方。

        日本明治维新后，形成了一个研究幻方的高潮，有关幻方的著作很多。

        近年来，由于电子计算机的出现，幻方得到很大的发展。湖北孝感曹    陵先生、兰州黄均迪先生、苏州郭先强先生、成都丁伟明先生等人用电脑研究幻方均取得了很大的成功。作者孤陋寡闻，只见到曹先生与丁伟明先生制作的一些软盘，其内容都很丰富，既可以用于制作某些固定格式的幻方，也可以对已制作的幻方进行检验以判定它是否具有某些特性。使用甚为方便。另外我国幻方者已经建立了几个幻方网站、开办了一批幻方主页，网络的快速传递，又进一步推动了幻方研究的发展速度。

         可以预料，   今后幻方的发展是很快的。但是发展幻方的关键还是人，因为要靠人编制程序，电脑才能运行而得出新的成果。

         这一节的资料主要选自文献 [1] 与 [2] ，特此说明。

                           林镜清先生点评

           公 尊华夏祖先龙， 孙 衍千秋万代红，

         轩 牖（ you ）朝阳沧海阔， 辕 车骏马会同宗。

         这首含 “公孙轩辕 ”四字的藏头诗，说明华夏子孙是龙的传人。龙的祖先有龙的文化，即道文化。道始于周易，周易始于河洛之启迪。其中“洛”指洛书，即三阶幻方。洛书确是开龙文化之先河。龙的传人把洛书发扬光大，繁衍成丰富多彩的幻方。近十年我国幻方研究蓬勃发展，取得了很多丰硕成果，为人类文明发展作出了重大贡献。本书作者李抗强先生对幻方造诣很深，发前人之未发，明前人之未明。读其幻方专著，获益良多。

        图 1 — 14A 这个五阶幻方，奇阳居中、偶阴围外，是内刚外柔、棉里藏针之象。其中奇数   1 、 3 、 5 、 7 、 9 、 11 、 13 、 15 、 17 、 19 、 21 、 23 、 25 走辕车步，而 5 、 7 、 9 、 11 、 15 、 17 、 19 、 21 走骏马步；偶数中也有五组辕车步 与四组 骏马步（要用变通的观点才能发现，例如 2 、 4 与 6 、 8 、 10 是两组辕车步） 。 奇数与偶数各自的五车四马，真是“辕车骏马会同宗”。这个五阶幻方启发我们，华夏子孙应尽快统一起来，开创美好和谐的新中华。

        本书作者新设计的纵横错位法确实是一种很容易理解而又具有较大的灵活性的好方法，希望初学幻方的读者将这一种制作方法扎扎实实地学到手。这种制作方法有可能为在低年级小学生中普及幻方起较大的作用。

        本章介绍的行列移动变换，   是幻方中最基本而又最重要的变换之一，   它好似孙悟空翻筋斗，海阔天空，舒展自如。

        纵观全书，笔者发现本书作者对于用变换的方法制作幻方是相当重视的。一般说来，用变换的方法制作幻方有两个优点：一是制作速度较快，二是能比较方便的弄清某些不同幻方之间的联系。

         《幻方简史》一节选取中外幻方历史的重要镜头，开拓了视野   ，认识到对于幻方这一祖国宝贵文化遗产，我们有将它发扬光大的职责。