第四章    双偶数阶幻方的制作方法

         人们一般将偶数分成两类，   其中是偶数的 2 倍（是 4 的倍数）的称为 双偶数 ，   是奇数的 2 倍的称为 单偶 数 。 4 、 8 、 12 、 16 、……是双偶数，用 4m 的形式表示； 2 、 6 、 10 ， 14 、 18 、……是单偶数，用 4m+2 的形式表示（其中 m 是自然数）。例如 m = 3 时， 4m = 4 × 3 = 12 是一个双偶数； 4m+2 = 4 × 3 + 2 = 14 是一个单偶数。由于双偶数阶幻方与单偶数阶幻方的制作方法有较大的区别   ，在这一章我们专门介绍双偶数阶幻方的制作方法。

        在双偶数阶幻方中，   阶数最低的是已在第二章作了详细研究的四阶幻方。本章主要是研究八阶幻方的制作方法、给出 16 阶幻方的一些实例，并对 4m （ m 为自然数）阶幻方的一般制作方法作简单的介绍。同时对某些特殊的双偶数阶幻方作一些研究。

           一、平移补空法

    1     2     3     4                  13   12     8     1                 13   12     8     1

    5     6     7     8           14   **     7   11   **     2             2     7   11   14

    9   10   11   12           15   **     6   10   **     3             3     6   10   15

  13   14   15   16                  16     9     5     4                 16     9     5     4

  A   初始方阵               B   环形填写数               C   四阶幻方

                图 3 — 1   用平移补空法制作四阶中心对称幻方

如图 3 — 1 所示，从右上角起按照环形依次填写 1  ～  8 这些数；再从与数 8 所在的方格成中心对称的方格起，依次填写 9  ～  16 这些数，得到 B 图。然后将 B 图中处于四阶方阵外面的各个数作平移复位（平移复位，参看第 62 页），得到的 C 图就是一个四阶中心对称幻方。

用这种方法也可以制作其它双偶数阶幻方。例如图 3 — 2 是用平移补空法制作的八阶中心对称幻方（略去了制作过程图，图中标记小圆点的各个数都是平移补空时移入的数）。每一个环形填写八阶自然方阵的两行数，在填写时应注意将自然方阵中上下对称的四行（每两行并作一组）一次性的填写完。填写数 49 时，应当使它与数 16 成中心对称；同样地，填写数 33 时，应当使它与数 32 成中心对称。这一个实例选自文献 [3] 。

                               57    56   25   24   48   33   16     1

                        58     2.   26   55   47   23   15   34   58.   2

                  59   **   27     3.  46   54   14   22   59.  35   **     3

           60   **   28   36.  45     4.  13   53   60.  21   28.  36   **     4   

           61   **   29   37.  44     5.  12   52   61.  20   29.  37   **     5

                  62   **   30     6.  43   51   11   19   62.  38   **     6

                         63     7.  31   50   42   18   10   39   63.    7

                                64   49     32   17   41   40     9     8

                  图 3 — 2   用平移补空法制作的八阶中心对称幻方

平移补空法可以制作任何双偶数阶中心对称幻方。当阶数大于 4 时，制作有一定的灵活性。例如在用这种方法制作八阶中心对称幻方时，可以将数 1 填写在第一行的倒数第二个方格；在填写完自然方阵的第 1 、 2 、 7 、 8 行后，第一行与最后一行还有 8 个空白方格，可以将数 17 填写在其中任何一个方格；也可以将图 3 — 2 中数 1 与数 17 的位置交换。