二、田格代换法

         在第 11 页，   我们给出了四阶幻方的田格的概念，对于所有的双偶数阶幻方，同样可以将它划分为若干个田格（使每一个方格只属于某一个田格）。为了便于介绍田格代换法，这里先给出两个概念：“ 小数 ”指偶数阶自然方阵上半方阵中的数；“ 大数 ”指偶数阶自然方阵下半方阵中的数。例如在四阶幻方中， 1  ～  8 是“小数”、 9  ～  16 是“大数”。

    1   2      4   3            1   3      4   2           1   3       2   4          1   2      3   4

    3   4      2   1            2   4      3   1           4   2       3   1          4   3      2   1

     A1        A2               B1        B2              C1        C 2            D 1       D 2  

                              图 4 — 3    四组配套的模块田格

      1   12   15    6       1   13    4   16         1   13   12    8            1     15    4   14

    14     7     4    9      15    8     9     2       16     4    5    9        12    6     9    7

      8   13   10    3      12    3   14    5         6   10   15    3       13    3     16      2

    11    2     5   16        6   10    7   11        11    7    2   14         8   10    5   11

             A                     B                       C                       D

                             图 4 — 4   四阶布局方示例

          多种文献对田格代换法作了介绍。用这种方法制作 4m （ m 为自然数）阶幻方时，一般以 4m 阶自然方阵为初始方阵，取一个 2m 阶幻方作为 布局幻方 ，取一个确定的 正模块 （图 4 — 3 给出了四组配套的模块，例如其中的图 A1 与图 A2 是一组配套的模块。在每组配套的模块中，取其中的一个作为正模块时，另一个就是副模块。对于每一组模块来说，将其中的一个旋转 180 度就得到另一个） 。

         图 4 — 5B 是以图 4 — 5A 为初始方阵、取布局幻方 D 、取正模块 A1 ，所制作的八阶幻方。在使用这种方法时，我们把八阶自然方阵的各个田格参照四阶自然方阵中各个数的顺序进行编号，例如图 4 — 5A 的第七个田格的四个数是 25 、 26 、 29 、 30 。

        比较图 4 — 5A 与图 4 — 5B 可知，布局幻方所起的作用是确定所制作的幻方每一个田格中应该填写的四个数，例如布局幻方图 4 — 4D 的第一行最后一个数是 14 ，采用布局幻方 D 制作的图 4 — 5B 的第一 田格行 最后一个田格应取自然方阵的第 14 个田格中的四个数 51 、 52 、 55 、 56 ；布局方图 4 — 4D 的第三行第二个数是 3 ，采用布局幻方 D 制作的图 4 — 5B 的第三 田格行 第二个田格应取自然方阵的第 3 个田格中四个数 11 、 12 、 15 、 16 。正、副模块的作用是：当所取田格的编号数为“小数”时，按正模块确定应填写的四个数的填写顺序；当所取的田格编号数为“大数”时，按副模块确定应填写的四个数的填写顺序。

          所采用的布局幻方应满足怎么样的条件呢？   它的每一行、每一列及两对角线上都应该是“小数”与“大数”各占一半（不满足这个条件，就不能使所制作的方阵各行、各列、两条对角线上诸数之和相等）。

        1     2     3     4    9   10   11   12           1     2   62   61   11   12   56   55

       5     6     7     8   13   14   15  16            5     6   58   57   15   16   52   51

     17   18   19   20   25   26   27   28         48   47   19   20   38   37   25   26

     21   22   23   24   29   30   31  32          44   43   23   24   34   33   29   30

    33   34   35   36   41   42   43   44          54   53     9   10   64   63     3     4

     37   38   39   40   45   46   47   48         50   49   13   14   60   59     7     8

     49   50   51   52   57   58   59   60         27   28   40   39   17   18   46   45

     53   54   55   56   61   62   63   64         31   32   36   35   21   22   42   41

             A   八阶初始方阵                   B   布局方 D 、正模块 A1

   1     2     5    6     9   10   13   14           1      2   60   59   13   14    56   55

   3     4      7    8   11   12   15   16        3    4   58   57   15   16    54   53

 17   18   21   22   25   26   29   30       48  47   21   22   36   35    25   26

 19   20   23   24   27   28   31   32       46  45   23   24   34   33    27   28

 33   34   37   38   41   42   45   46       52  51    9   10       6 4    63     5     6

 35   36   39   40   43   44   47   48       50   49   11   12   62   61     7     8

 49   50   53   54   57   58   61   62       29  30   40   39   17   18    44   43

 51   52   55   56   59   60   63   64       31  32   38   37   19   20    42   41

         C   八阶初始方阵                    D   布局方 D 、正模块 A

             图 4 — 5   用田格代换法制作八阶幻方两组实例

         图 4 — 5C 与图 4 — 5D 是另一组用田格代换法制作八阶幻方的实例。我们在幻方下方标注了所采用的正模块与布局幻方的代号。    一般来说， 当布局幻方是四区对应的完美幻方时，用田格代换法制作的方阵也一定是完美幻方 。 例如布局幻方图 4 — 4D 是四阶完美幻方，采用这个布局幻方制作的图 4 — 5B 与图 4 — 5D 都是八阶完美幻方。

         田格代换法可制作任意一种阶数的双偶数阶幻方，并有多种多样的变通方案（这些变通方案本书不作介绍）。总之，它是一种高产的、使用较为方便的制作方法。