四、穿心对调法的推广  

       如果只能以八阶自然方阵为初始方阵作穿心对调，所能制作的八阶中心对称幻方的数量仍然不多，我们还要想办法扩大战果。这里先介绍一种特殊的八阶方阵，这种八阶方阵同时满足下列条件：    1 、数 1 在它的左上角方格。  2 、它的每一行八个数都是“ a ， a+t ， a+u ， a+t+u ， a+v ， a+t+v ， a+u+v ， a+t+u+v ”（其中 t 、 u 、 v 的值对于每一行是相同的）的形式。例如图 4 — 8A 中每一行的数都是这种形式，其中 t 、 u 、 v 值依次是 2 、 1 、 8 。  3 、它的列方向也有类似的特点（列方向相当于 t 、 u 、 v 的三个加数依次记作 p 、 q 、 r ）。本书将这种八阶方阵称为   八阶 规范中心对称方阵 。图 4 — 8 给出了两个 八阶规范中心对称方阵 ，前者 六个字母 t 、 u 、 v 、 p 、 q 、 r 的值 依次是 2 、 1 、 8 、 4 、 16 、 32 ； 后者这六个字母的值依次是 2 、 4 、 8 、 16 、 32 、 1 。八阶自然方阵显然是一个最特殊的八阶规范中心对称方阵（它的这六个字母的值依次是 1 、 2 、 4 、 8 、 16 、 32 ）。实际上，我们在本章第一节给出的图 4 — 5A 与图 4 — 5C 这两个初始方阵也是八阶规范中心对称方阵。

       1     3     2     4     9   11   10   12            1     3     5    7     9   11    13  15 

       5     7     6     8   13   15   14   16          17   19   21   23   25   27   29   31

     17   19   18   20   25   27   26   28          33   35   37   39   41   43   45   47

     21   23   22   24   29   31   30   32          49   51   53   55   57   59   61   63

     33   35   34   36   41   43   42   44            2     4     6    8   10   12   14   16

     37   39   38   40   45   47   46   48          18   20   22   24   26   28   30   32

     49   51   50   52   57   59   58   60          34   36   38   40   42   44   46   48

     53   55   54   56   61   63   62   64          50   52   54   56   58   60   62   64 

                           A                                                           B

       1   6 2      2   6 1    56   11   55   12             1   6 2      5   5 8    56   11   52   15

     6 0      7   5 9      8   13   50   14   49           4 8    19   4 4    23   25   38   29   34

     17   4 6    18   4 5    40   27   39   28           33   3 0    37   2 6    24   43   20   47

     4 4    23   4 3    24   29   34   30   33           1 6    51   1 2    55   57     6   61     2

     32   35   31   36   41   22   42   21           63     4   59     8   10   53   14   49

     37   26   38   25   20   47   19   48           18   45   22   41   39   28   35   32

    16   51   15   52   57     6   58     5           31   36   27   40   42   21   46   17

    53   10   54     9     4   63     3   64           50   13   54     9     7   60     3   64

          C    八阶中心对称幻方                  D   八阶中心对称幻方

            图 4 — 8   八阶规范中心对称方阵及八阶中心对称幻方

        顺便指出： 1 、由于所有的八阶规范中心对称方阵都由前 64 个自然数组成，因而所有的八阶规范中心对称方阵的六个字母 t 、 u 、 v 、 p 、 q 、 r 的取值都在 1 、 2 、 4 、 8 、 16 、 32 这六个数的范围内，只是在不同的八阶规范中心对称方阵中，这六个数值所扮演角色不同而已。 2 、八阶规范中心对称方阵有 360 个。 3 、据八阶规范中心对称方阵的组成特点，只要给出了某个八阶规范中心对称方阵第一行以及第一列的依次各个数，就能够很快的写出整个八阶方阵。请读者自己试一试。

类似地有四阶（ 16 阶、 32 阶）规范中心对称方阵的概念。四阶规范中心对称方阵行方向与列方向一共有 4 个数据，其取值在 1 、 2 、 4 、 8 的范围内，四阶规范中心对称方阵共有 12 个。

         经研究， 以任何一个八阶规范中心对称方阵作为初始方阵进行穿心对调，也一定得到八阶中心对称幻方。 这样就使用穿心对调法制作的八阶中心对称幻方的数量大大地增加。在图 4 — 8 中， C 图与 D 图分别是以 A 图与 B 图为初始方阵、按照制作图 4 — 7D 幻方的穿心对调指令，作穿心对调制作的八阶中心对称幻方。

         顺便指出：   在某些特殊情况下，不需要将左上区参与对调的数标记出来就能够识别左上区的哪些参与了对调。有哪些特殊情况呢？

1 、如果八阶初始方阵   的左上区的各个数都小于 32 ，那么幻方的左上区中所有大于 32 的数是一定就“新来的房客”（对于图 4 — 8C 幻方可以这些判定）；

2 、如果初始方阵可左上区的各个数都是奇数，那么幻方中左上区的偶数就一定是“新来的房客”（例如对于图 4 — 8D 幻方，可以这样判定）。