五、“取 1 隔 1 ”穿心对调指令的应用

        在第 108 页图 4 — 7 中所采用的六个穿心对调指令中，后三个指令是特殊的穿心对调指令，用它们制作的幻方也更加规范、具有较多的优美性质。这三个指令依次称为 取 1 隔 1 对调指令、取 2 隔 2 对调指令、双斜线对调指令 （图 4 — 7F 左上区中不参与对称的八个数在两条斜线上） 。 这里着重介绍“取 1 隔 1 ”对调指令的应用。另外两种特殊的穿心对调指令在第八章再作详细的研究。

        为了便于介绍采用“取 1 隔 1 ”对调指令所制作的八阶完美幻方的组成特点，我们先介绍八阶幻方各区泛田格等和的概念（四阶方阵的泛田格，参看第 55 页，这里将泛田格的概念再推广）。

        不难看出，图 4 — 8D 幻方的左下区第三、第四行所组成的各个泛田格中的数组依次是：（ 16 ， 50 ， 57 ， 7 ）、（ 50 ， 14 ， 7 ， 59 ）、（ 14 ， 52 ， 59 ， 5 ）、（ 52 ， 16 ， 5 ， 57 ），这几个数组中诸数的和都等于 130 （其中 130 是幻方中最大的数 64 与 1 的和的 2 倍，也就是八阶幻和 260 的一半）。一般说来，在一个双偶数阶幻方中，如果某 4 个数之和等于一对互补数的和的 2 倍，称这个数组为该幻方的 四元平衡数组 。我们还会发现图 4 — 7D 的每一区的各个泛田格数组也都是四元平衡数组。对于这个八阶幻方，我们说它是 各区泛田格等和 的。图 4 — 8C 与图— 12D 幻方也是各区泛田格等和的八阶中心对称幻方。

请读者注意：这些幻方中跨区的泛田格数组不是四元平衡数组，例如图 4 — 8D 幻方第一、第二行正中间的泛田格数组（ 58 ， 56 ， 23 ， 25 ）不是四元平衡数组。

          类似于八阶规范中心对称方阵、八阶穿心对调指令，有 8m （ m 为自然数）阶规范中心对称方阵、 8m 阶穿心对调指令等概念。显然，任何一个双偶数阶自然方阵都是特殊的规范中心对称方阵。 8m 阶穿心对调指令可用 4m 阶方阵的形式表示。不难看出，随着阶数的增大，规范中心对称方阵及穿心对调指令的数量都会急剧地增加。

        各区泛田格的概念可以推广到所有的双偶数阶方阵，例如 16 阶方阵的左上区有 64 个泛田格。

          一般来说，有结论：

          1 、给定一个 8m 阶规范中心对称方阵，任取一组 8m 阶穿心对调指令，作穿心对调，一得到 8m 阶中心对称幻方。

         2 、 在结论  1  所述的制作过程中，如果采用“取 1 隔 1 ”穿心对调指令作穿心对调，那么所得到的中心对称幻方一定具有各区泛田格等和的特点 ， 但整个幻方不是泛田格等和的。      

         1  255      3  253     5   251     7  249  248    10  246     12    244    14  242    16

   240    18  238    20  236   22  234   24     25  231    27   229      29  227    31  225

     33  223    35  221   37  219    39  217  216    42  214     44    212    46  210    48

   208    50  206   52  204    54  202    56    57  199    59   197      61  195    63  193

     65  191    67  189    69  187   71  185  184    74  182     76    180    78  178    80

   176    82  174    84  172    86  170   88    89  167     91   165     93  163    95  161

     97  159    99  157  101  155  103  153  152  106  150   108   148  110  146  112

   144  114  142  116  140  118  138  120  121  135  123   133   125  131  127  129

   128  130  126  132  124  134  122  136  137  119  139   117   141  115  143  113

   145  111  147  109  149  107  151  105   104  154  102  156   100   158   98  160

     96  162    94  164    92  166    90  168   169    87  171    85   173   83  175    81

   177    79  179    77  181    75  183    73    72  186    70  188     68  190   66  192

     64  194    62  196    60  198    58  200   201    55  203    53   205    51  207   49

   209    47  211    45  213    43  215    41     40  218    38  220    36  222    34  224

     32  226    30  228    28  230    26  232   233    23  235    21   237    19  239   17

   241    15  243    13  245    11  247      9      8  250      6  252       4  254      2  256

              图 4 — 9     各区泛田格等和的 16 阶中心对称幻方

          例如图 4 — 9 是采用“取 1 隔 1 ”对调指令制作的 16 阶泛田格等和中心对称幻方。在该幻方中，每一区的 16 个泛田格中四个数之和都等于 514 （都等于 16 阶幻和的四分之一），这种数组也是四元平衡数组。

         一般说来，将制作图 4 — 8D 八阶幻方所采用的穿心对调指令扩展，就得到 8m 阶 “取 1 隔 1 ”穿心对调指令 （这一指令是的规律是很简单的，读者不难得到它）。感兴趣的读者，不妨采用这一种穿心对调指令制作一个 24 阶中心对称幻方试一试 。