六、   四区对应的幻方

          这里先介绍两个概念：

        1 、将一个偶数阶方阵的右半部分左右翻折、再将新方阵的下半部分上下翻折，这两步合起来称为 偏心翻折 。例如将四阶自然方阵（图 4 — 10A ）作偏心翻折得到图 4 — 10B 这个方阵；又如将图 4 — 10C 幻方作偏心翻折得到图 4 — 10D 这个四阶幻方。

  1     2    3     4         1     2    4     3            1   15   14     4         1   15     4   14

  5     6    7     8         5     6    8     7          12     6     7     9        12     6    9    7

  9   10   11   12       13   14   16   15           8   10   11     5       13     3   16     2

13   14   15   16         9   10   12   11         13     3     2   16         8   10     5   11

          A                      B                           C                        D

               图 4 — 10   四阶中心对称方阵与四阶四区对应方阵

        2 、对于偶数阶方阵的 4 个区来说，处于左上区与右上区（或者左下区与右下区）同一位置的一对方格，称为一对对应方格。例如在四阶自然方阵中，数 1 与 11 、 2 与 12 、 3 与 9 、 4 与 10 四者处于对应方格。其中的“对应”二字，表明这种方阵与中心对称方阵中的对称有某些相似之处，特改用“对应”以示区别。

        3 、在偶数阶方阵中，如果每一对对于方格的数都是互补数，我们称这个方阵是 四区对应方阵 。例如图 4 — 11A 是一个四区对应的八阶方阵，图 4 — 11B 是一个四区对应的八阶幻方。

        4 、将一个偶数阶自然方阵作偏心翻折得到的方阵（它显然是四区对应的），称为 四区对应自然方阵 ，例如图 4 — 11A 是八阶四区对应自然方阵。

          对于四区对应方阵， 有结论：

        1 、如果方阵 E 是四区对应方阵，那么方阵 E 的每一个泛对角线数组都是幻和数组（都由若干对互补数组成）。

           2 、   在一个四区对应方阵中，如果它的上半方阵各行与左半方阵各列诸数的和都等于幻和，那么这个方阵就一定是完美幻方 。

     1     2     3     4     8     7     6     5              1    63     3    61    8   58     6   60

   9   10   11   12   16   15   14   13          9   10   54   53   16   15   51   52

 17   18   19   20   24   23   22   21        48   47   19   20   41   42   22   21

 25   26   27   28   32   31   30   29        40   26   38   28   33   31   35   29

 57   58   59   60    6 4    63   62   61         57    7   59    5       6 4     2    62    4

 49   50   51   52   56   55   54   53         49   50   14   13   56   55   11   12 

 41   42   43   44   48   47   46   45         24   23   43   44   17   18   46   45

 33   34   35   36   40   39   38   37         32   34   30   36   25   39   27   37

                         A                                                B

          图 4 — 11     八阶四区对应自然方阵与八阶四区对应幻方

         利用这两个性质我们不必对这个方阵另外的行数组、另外的列数组进行检验，也不必对它的每一个泛对角线数组进行检验，这样就可以节省很多时间。四区对应幻方不仅是一种优美的幻方，而且是一种较为容易制作的幻方。

          如果我们比较中心对称的八阶幻方与四区对应的八阶幻方，不难发现两者有很多相似之处： 1 、前者有 32 对中心对称的数，后者有 32  对对应的数。 2 、前者有四对上下对称的行（左右对称的列），后者有四对上下同一位置的行（上下同一位置的行）。两者是不是还有某些内在的联系呢？

         给定 一个四区对应的偶数阶幻方，将它作偏心翻折，所得到的一定是一个中心对称的偶数阶幻方 （请读者参看图 4 — 11 ） 。反过来， 给定 一个中心对称的偶数阶幻方，将它作偏心翻折，所得到的一定是一个四区对应的偶数阶幻方。

         这两中幻方的内在联系请读者记住。

         我们已经指出，   中心对称幻方的每一对上下对称的两行上诸数之平方和总是相等的，列方向也是这样   。   据上一段的结论，可以得到四区对应的幻方的一个重要性质：     对于任何一个四区 对应的幻方，它的每一组上下同一位置的两行中诸数的平方和一定是相等的，它的任何左右同一位置的两列中诸数的平方和也一定是相等的 。  

         这一重要的性质，表明四区对应幻方是很优美的幻方。