十一、四区对应的八阶幻方的保性变换

       这一节介绍几种四区对应的八阶幻方的保性变换。为了便于叙述，   这里先介绍同位重排变换的概念。

        如果一个八阶对称重排码的前半部分与后半部分的每一对同一位置的数码的差都是 4 ，称这个重排码为 八阶同位重排码 （这种变换能够使变换前每一对同位置的两行或两列在变换后仍然是同位置的）。例如“ 1 3 2 4 5 7 6 8 ”、“ 7 1 4 6 3 5 8 2 ”、“ 1 2 3 8 5 6 7 4 ”等都是八阶同位重排码。采用同位重排码所作的重排变换称为 同位重排变换 。如果所采用的行重排码与列重排码相同，将这种变换称为 行列同步同位重排变换 。从图 4 — 21A 到图 4 — 21B 的变换是“行 1 2 3 8 5 6 7 4 ；列 3 4 1 2 7 8 5 6 ”重排变换。

另一方面，图 4 — 21A 是将图 4 — 12B 幻方作“行 3 4 1 2 7 8 5 6 ”同位重排变换得到的幻方，图 4 — 21B 是将图 4 — 12B 幻方作“行 3 4 1 2 7 8 5 6 ；列 3 4 1 6 7 8 5 2 ”同位重排变换得到的幻方。

         1     2     3    4     5     6     7    8             3     4     1    2     7     8     5     6

 1    17   47   19   45   24   42   22   44    1    19   45   17   47   22   44   24   42

 2    40   26   38   28   33   31   35   29    2    38   28   40   26   35   29   33   31

 3      1   63     3   61    8   58     6   60     3      3   61     1   63    6   60     8   58

 4    56   10   54   12   49   15   51   13    8    14   52   16   50   11   53     9   55

 5    41   23   43   21   48   18   46   20    5    43   21   41   23   46   20   48   18

 6    32   34   30   36   25   39   27   37    6    30   36   32   34   27   37   25   39

 7    57     7   59     5   64    2   62     4     7    59     5   57     7   62    4   64     2

 8    16   50   14   52     9   55   11   53    4    54   12   56   10   51   13   49   15

                A   原来的幻方                                  B   新幻方

                            图 4 — 21   行列同位重排变换示例

从这些实例可以看出，这一类变换与中心对称幻方的对称重排变换是较为类似的。当阶数是偶数时，中心对称幻方的每一种对称重排变换，都与四区对应幻方的某一种同位重排变换密切相关。

         在第 26 页，我们对于四阶幻方给出了行列同构幻方、行列线同构幻方的概念，实际上这两个概念可以推广到一般情况。一般说来，有结论：

        1 、 任取一个双偶数阶四区对应幻方 A ，将它作任何一种行列重排变换所得到的方阵 B 与幻方 A 是行列同构的。

        2 、任取一个双偶数阶四区对应幻方 A ，将它作任何一种同步同位行列重排变换所得到的幻方 B 与幻方 A 是行列线同构的 （这就是同步同位重排变换是任何一个幻方的保性变换的依据） 。

        3 、任取一个八阶四区对应幻方 C ，取下列重排码 ：

        1 2 3 4 5 6 7 8 ，    2 1 4 3 6 5 8 7 ，    1 7 6 4 5 3 2 8 ，

        7 1 4 6 3 5 8 2 ，    1 3 2 4 5 7 6 8 ，    2 4 1 3 6 8 5 7 ，

        1 6 7 4 5 3 2 8 ，    7 4 1 6 3 8 5 2 ，

作行列同步同位重排得到的幻方 D 与原幻方行列线同构 。

         1     2     3    4     5     6     7    8            2     1     4     3     6     5     8     7

 1    17   47   19   45   24   42   22   44    2    26   40   28   38   31   38   29   35

 2    40   26   38   28   33   31   35   29    1    47   17   45   19   42   24   44   22

 3      1   63     3   61    8   58     6   60     4    10   56   12   54   15   49   13   51

 4    56   10   54   12   49   15   51   13    3    63     1   61     3   58     8   60     6

 5    41   23   43   21   48   18   46   20    6    34   32   36   30   39   25   37   27

 6    32   34   30   36   25   39   27   37    5    23   41   21   43   18   48   20   46

 7    57     7   59     5   64    2   62     4     8    50   16   52   14   55     9   53   11

 8    16   50   14   52     9   55   11   53    7      7   57     5   59     2   64     4   62

                A   原来的幻方                                  B   新幻方

                 图 4 — 21   得到行列线同构幻方重排变换示例

         对于一般的四区对应的偶数阶幻方应该作哪些变换才能保持行列线同构，有待进一步研究。