十三、用主步转向步法制作
中心对称八阶完美幻方
2002 年 8 月，作者收到丁宝训老先生转寄来的、丁伟明先生编制的用主步转向步法制作八阶中心对称完美幻方的 12 组八阶重排码；同时收到丁伟明先生寄来的关于制作中心对称线五次幻方的一篇论文。细心研究该论文，认识到中心对称的完美幻方确实比一般的完美幻方更加优美。同样的，中心对称的八阶完美幻方，也比四区对应的八阶完美幻方更加优美。作者对丁伟明先生所编制的重排码作细致的研究后，认识到有必要补写《用主步转向步法制作八阶中心对称完美幻方》这一节。
丁先生编制的 12 组重排码全部是中心对称的重排码，它们是（顺便指出，这 12 组重排码，可以看成是将其中的第 1 组重排码作多种变换得到的）：
1 2 4 3 6 5 7 8 ； 1 2 6 5 4 3 7 8 ； 1 3 4 2 7 5 6 8 ；
1 3 7 5 4 2 6 8 ； 1 5 6 2 7 3 4 8 ； 1 5 7 3 6 2 4 8 ；
2 1 3 4 5 6 8 7 ； 2 1 5 6 3 4 8 7 ； 3 1 5 7 2 4 8 6 ；
3 1 2 4 5 7 8 6 ； 5 1 3 7 2 6 8 4 ； 5 1 2 6 3 7 8 4 。
请读者注意：考虑到与行列移动变换相结合， 1 2 4 3 6 5 7 8 ； 3 4 2 1 8 7 5 6 ； 8 7 5 6 403 4 2 1 ； 6 5 7 8 1 2 4 3 这 4 个重排码在制作八阶中心对称完美幻方时所起的作用是相同的，因而丁先生只采用 12 个使数 1 在第 1 位置或第 2 位置的重排码，使之更加简明。
图 4 — 23A 是取“ 1 2 4 3 6 5 7 8 ”作为行列同步重排码所制作的八阶初始方阵，图 4 — 23B 是 A 图为初始方阵、采用丁先生的一套步法“上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”、并取左上角方格的数为 36 所制作的八阶中心对称完美幻方。
1 2 4 3 6 5 7 8 36 54 63 1 12 30 23 41
9 10 12 11 14 13 15 16 61 8 10 27 21 48 34 51
25 26 28 27 30 29 31 32 9 28 22 47 33 52 62 7
17 18 20 19 22 21 23 24 19 45 40 50 59 5 16 26
41 42 44 43 46 45 47 48 39 49 60 6 15 25 20 46
33 34 36 35 38 37 39 40 58 3 13 32 18 43 37 56
49 50 52 51 54 53 55 56 14 31 17 44 38 55 57 4
57 58 60 61 62 61 63 64 24 42 35 53 64 2 11 29
重排码“ 1 2 4 3 6 5 7 8 ” 步法 “上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”
A 初始方阵 B 中心对称完美幻方
图 4 —— 23 初始方阵与据以制作的中心对称完美幻方
如果将图 4 — 23B 幻方作“移动 4 行”、“移动 4 列”、“移动 4 行 4 列”这 3 种变换，得到的 3 个八阶方阵也是八阶中心对称完美幻方（这 3 个幻方左上角方格的数依次为 39 、 12 、 15 ）。对于其它的重排码也同样可以制作 4 个八阶中心对称完美幻方。
采用“上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”这一组配套的步法时，初始方阵所能够采用的重排码应当具有什么样的特点呢？为了解决这个问题，我们以组序式八阶自然方阵（图从略，“组序式自然方阵”参看第 66 页）为初始方阵，采用“上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”步法，并且作适当的行列移动变换，制作一个组序式八阶中心对称幻方，如图 4 — 24 所示。
11 12 13 14 15 16 17 18 54 76 87 11 24 46 37 61
21 22 23 24 25 26 27 28 85 18 22 43 35 68 52 73
31 32 33 34 35 36 37 38 21 44 36 67 51 74 86 17
41 42 43 44 45 46 47 48 33 65 58 72 83 15 28 42
51 52 53 54 55 56 57 58 57 71 84 16 27 41 34 66
61 62 63 64 65 66 67 68 82 13 25 48 32 63 55 28
71 72 73 74 75 76 77 78 26 47 31 64 56 77 81 14
81 82 83 84 85 86 87 88 38 62 53 75 88 12 23 45
A 八阶组序式自然方阵 B 步法“上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”
图 4 — 24 八阶组序式中心对称完美幻方
我们来考察图 4 — 24 幻方中行、列、泛对角线数组的组成特点： 1 、每一个左上泛对角线数组、每一个右上泛对角线数组都是行列均匀分布数组。 2 、每一行的 8 个“组数”是各不相同的、 但是各个“序数”都是“ 2 3 5 8 ”重复出现或者是“ 1 4 6 7 ”重复出现，就要求初始方阵所采用的列重排码中第 2 、 3 、 5 、 8 个数之和等于 8 个数码总和之半（这时，该重排码中第 1 、 4 、 6 、 7 个数之和也必然等于 8 个数码总和之半）。 3 、每一列 的 8 个“序数”是各不相同的、 但是各个“组数”都是“ 2 3 5 8 ”重复出现或者是“ 1 4 6 7 ”重复出现，就要求初始方阵所采用的行重排码中第 2 、 3 、 5 、 8 个数之和等于 8 个数码总和之半。另一方面，制作中心对称 完美幻方的重排码应当是中心对称的。而第 2 、 3 、 5 、 8 个数码依次与第 7 、 6 、 4 、 1 个数码之和为 9 。这就是采用“上 1 右 2 / 下 1 左 1 ”步法时，只存在丁先生所列举的 12 个中心对称重排码的原因所在。