十四、八阶中心对称完美幻方再研究

        我们在第 126 页介绍了刘缉熙先生用主步转向步法制作的一个八阶完美幻方（图 4 — 17B ），现在回头考察该幻方，如果将该幻方作“移动 2 行”变换，就是一个八阶中心对称完美幻方。图 4 — 17 中后两个幻方作某种合适的行列移动变换也可以得到八阶中心对称完美幻方（看来，刘先生以及作者都与八阶中心对称完美幻方失之交臂）。

为了对“上 2 右 3 /  下 1 右 1 ”这套主步转向步步法所应当采用的重排码作全面的研究，这里特制作了类似于图 4 — 24 的图 4 — 25 。据这个组序式方阵，得到这套步法所采用的重排码的组成特点与“上 1 右 2 /  下 1 左 1 ”步法所采用的重排码的组成特点完全相同。也就是应当采用丁伟明先生所提供的 12 组八阶中心对称重排码。

   55   74   13   32   51   78   17   36              7   26   44   51     1   32   46   53

   47   66   85   24   43   62   81   28            62   13   23   34   60   11   17   40

   31   58   77   16   35   54   73   12            49     8   30   45   55     2   28   43

   23   42   61   88   27   46   65   84            36   59     9   24   38   61   15   18

   15   34   53   72   11   38   57   76            47   50     4   27   41   56     6   29

   87   26   45   64   83   22   41   68            22   39   63   10   20   35   57   16

   71   18   37   56   75   14   33   52            25   48   54     5   31   42   52     3

   63   82   21   48   67   86   25   44            12   19   33   64   14   21   39   58

     步法“上 2 右 3 /  下 1 右 1 ”              “ 13427568 — 12436578 ”

     图 4 — 25   八阶组序式方阵             图 4 — 26   中心对称完美幻方

上文所列举的 12 组中心对称的重排码可以制作多少个不同的八阶中心对称的初始方阵呢？将两者任意配合，一共可以制作 144 个不同的八阶中心对称初始方阵。

1    23   49   60     6   15   41   36   30     1    39   41   60     6   23   25   12   54

2    58     3   13   48   34   27   21   56     3    58     3   21   32   10   51   37   48

6    14   47   33   28   22   55   57     4     4    22   31     9   52   38   47   57     4

5    40   26   19   53   64     2   11   45     2    16   50   35   45   64     2   19   29

4    20   54   63     1   12   46   39   25     7    36   46   63     1   20   30   15   49

3    61     8   10   43   37   32   18   51     5    61     8   18   27   13   56   34   43

7      9   44   38   31   17   52   62     7     6    17   28   14   55   33   44   62     7

8    35   29   24   50   59     5   16   42     8    11   53   40   42   59     5   24   26

                      A                                                     B

3    55   57   44   22     7     9   28   38     5    55   57   28   38     7     9   44   22

1    42   19     5   16   26   35   53   64     1    26   35     5   16   42   19   53   64

2      6   15   25   36   54   63   41   24     2      6   15   41   20   54   63   25   36

4    32   34   51   61   48   18     3   13     6    48   18   51   61   32   34     3   13

7    52   62   47   17     4   14   31   33     3    52   62   31   33     4   14   47   17

5    45   24     2   11   29   40   50   59     7    29   40     2   11   45   24   50   59

8      1   12   30   39   49   60   46   23     8      1   12   46   23   49   60   30   39

6    27   37   56   58   43   21     8   10     4    43   21   56   58   27   37     8   10

                        C                                                   D

               图 4 — 27   用不同的行重排码制作的 4 个八阶

               中心对称完美幻方（“上 1 右 2 /  下 1 左 1 ”）

例如图 4 — 26 就是先以“ 1 2 4 3 6 5 7 8 — 1 3 4 2 7 5 6 8 ”为行列重排码制作初始方阵，然后按照图 4 — 25 的步法所制作的八阶中心对称完美幻方。图 4 — 27 是采用步法“上 1 右 2 /  下 1 左 1 ”，采用“ 1 2 4 3 6 5 7 8 ”为列重排码、不同的行重排码制作 4 个八阶中心对称完美幻方（所采用的行重排码标记在幻方的右边）。

对于上述 144 个初始方阵中每一个确定的八阶中心对称初始方阵，可以采用哪些配套的步法用主步转向步法进行制作？作者利用丁伟明先生所提供的制作主步转向步法幻方的程序（利用该程序用主步转向步法制作幻方非常快捷，并且能够对所得到的方阵按照多种标准进行判定），对于这一问题作了详细的研究，得到了下列结论：

对于上述 144 个八阶中心对称初始方阵中的每一个初始方阵，所能够采用的主步只有“上 1 右 2 ”与“上 2 右 3 ”两种，与“上 1 右 2 ”主步配套的转向步有下 1 右 1 、下 1 左 1 、下 1 右 3 、下 1 左 3 、上 3 右 1 、上 3 左 1 、上 3 右 3 、上 3 左 3 共 8 种。与“上 1 右 2 ”主步配套的转向步有下 1 右 1 、上 1 右 1 、下 1 左 3 、上 1 左 3 、上 3 右 1 、下 3 右 1 、下 3 左 3 、上 3 左 3 共 8 种。一共有 16 套不同的步法，可以制作 64 个不同八阶中心对称完美幻方 。

        这个结论的实质，也就是如果采用这 144 个初始方阵，在主步是“上 1 右 2 ”或者是“上 2 右 3 ”的衔接点图中，都只有 8 个完美幻方格，加上行列移动变换，一共可以制作 32 个八阶中心对称完美幻方。    

在第 126 页，我们曾猜想： 对于某一个确定的主步来说，如果转向步“上 t 右 u ”（其中 t 与 u 是自然数）可以与该步法配合制作八阶完美幻方，那么与步法“上 t 右 u ”两个方向移动的格数都相同的另外 3 个步法，一定也可以与该主步配合制作八阶完美幻方 。对于上一段结论中的 8 个转向步，利用衔接点图找出相应的 8 个列向步，发现这些列向步确实是符合猜想的，初步证实了这一猜想。

按照第 78 页关于“ 1 × 2 ”步法类的叙述，以及步法类概念的推广，对于制作八阶完美幻方，我们只要对“ 1 × 2 ”、“ 1 × 3 ”、“ 2 × 3 ”这 3 种步法类各取某一种步法作为主步作详细的研究就可以了。作者对以“上 1 右 3 ”为主步制作八阶完美幻方进行了较深入的研究，发现不论采用哪一种转向步、也不论采用哪一种重排码都不能制作成功。这表明用主步转向步法制作八阶中心对称完美幻方所能够采用的步法、所能够采用的重排码全部如上文所述。