附 1 ：三阶二元幻方
图 1 的前三个分图是高治源先生制作的三个 三阶二元幻方 。“ 二元 ”是指每一个方格都有 2 个数（同样要求幻方中的各个数各不相同），在二元三阶幻方中，每一行诸数之和是指该行 6 个数之和（余类推），请读者注意它与一般的幻方的不同之处。这三个幻方曾发表在文献 [11] 上。
4 ， 17 9 ， 12 2 ， 15 11 ， 19 2 ， 28 6 ， 24 2 ， 17 9 ， 10 4 ， 15
3 ， 10 5 ， 14 7 ， 18 5 ， 25 13 ， 17 1 ， 29 7 ， 12 5 ， 14 3 ， 16
8 ， 13 1 ， 16 6 ， 11 14 ， 16 4 ， 26 3 ， 27 6 ， 13 1 ， 18 8 ， 11
A S = 57 B S = 90 C S = 57
7 ， 16 17 ， 6 3 ， 8 11 ， 19 2 ， 28 6 ， 24 7 ， 12 17 ， 2 3 ， 16
5 ， 2 9 ， 10 13 ， 18 5 ， 25 1 ， 29 13 ， 17 5 ， 14 9 ， 10 13 ， 6
15 ， 12 1 ， 14 11 ， 4 14 ， 16 4 ， 26 3 ， 27 15 ， 4 1 ， 18 11 ， 8
D S = 57 E S = 90 F S = 57
图 1 三阶二元幻方三例（前三个高治源作）
图 1A 幻方由前 18 个自然数组成，它的各行、各列诸数的平方和都是相等的（都 是 703 ），两条对角线上诸数的立方和也都是相等的（都是 683 ）。这个幻方可以称为三阶二元行列二次兼线二次幻方。图 1D 是作者的一个学步之作它具有图 1A 幻方各个优美性质（它的两条对角线上诸数之平方和是 623 ）。
图 1B 幻方的首末两行诸数的平方和、立方和、四次方和、五次方都是相等的，它同时是一个三阶二元完美幻方。有趣的是在保持各个二元数组不变的条件下，将这个幻方同一行的三个二元数组作任何一种调整，所得到新幻方都具有原幻方优美性质。例如图 1E 是作变换所得到的一个新的三阶二元幻方。
图 1C 幻方的首末两行诸数的平方和都是 715 、诸数的立方和都是 10089 ，它的首末两列诸数的平方和都是 691 、诸数的立方和都是 9415 。这个幻方也是三阶二元完美幻方。 图 1F 是作者仿照图 1C 幻方制作的（它的四个数据依次是 751 、 11115 、 655 、 8379 ）。
附 2 ：三阶四元完美、行列三次兼线三次幻方
图 2B 是一个三阶四元完美幻方，它又是一个三阶四元行列三次兼线三次幻方。它由前 36 个自然数组成，它的幻和为 222 。它的各行、各列上诸数之平方和都是 5402 、诸数之立方和都是 147852 。另一方面，它的两条对角线上诸数之平方和都是 5362 、诸数之立方和都是 145632 。它的性质与图 1A 幻方类似。图 2A 幻方是如何制作的呢？这里作一个简单的介绍： 1 、各个方格的第一个数，就是一个三阶幻方的各个数； 2 、将每一个方格的数分别加上 9 、 18 、 27 ，依次写在该方格中。 3 、将各个方格中第二个数顺时针方向旋转 90 度、将各个方格的第三个数顺时针方向旋转 270 度、将各个方格的第四个数顺时针方向旋转 180 度，就得到图 2A 幻方。例如第二步左上角方格中 4 个数依次是 4 、 13 、 22 、 31 ，数 13 应该成为右上角方格的第二个数、数 22 应该成为左下角方格的第三个数、数 31 应该成为右下角方格第四个数。
由于图 1A 幻方的各个二元数组恰好都是图 2A 幻方的各个四元数组的前两个数，因而同时揭示了图 1A 幻方的制作方法。
我们在第一章已经指出，三阶幻方只有一个，它不是完美幻方，也不是行列二次幻方。在阶数不增大的条件下，只有增加“元数”才能使之成为完美幻方，同时成为行列二次（行列三次）幻方。
4 ， 17 ， 20 ， 33 9 ， 12 ， 25 ， 28 2 ， 13 ， 24 ， 35
3 ， 10 ， 27 ， 34 5 ， 14 ， 23 ， 32 7 ， 18 ， 19 ， 30
8 ， 15 ， 22 ， 29 1 ， 16 ， 21 ， 36 6 ， 11 ， 26 ， 31
图 4 三阶四元完美、行列三次兼线三次幻方