第五章 单偶数阶幻方的制作
在西安市陕西历史博物馆中， 有一块铸有六阶幻方（如图 5 — 1A 所示，选自文献 [2] ）的铁板，它是 1956 年在西安元代安西王府旧址出土的文物（大概是当年王府奠基所用之物，可能是当时人们认为幻方有祈福消灾的作用），可见当时幻方的影响力已很大了。
28 4 3 31 35 10
36 18 21 24 11 1
7 23 12 17 22 30
8 13 26 19 16 29
5 20 15 14 25 32
27 33 34 6 2 9
图 5 — 1 出土文物中的六阶幻方
在第四章的开头语中， 我们已指出单偶数是指不能够被 4 整除的偶数， 并指出一般用 4m+2 （ m 为整数）表示单偶数。在单偶数阶幻方中，阶数最低的是六阶幻方。这一章介绍单偶数阶幻方的四种制作方法，这些方法都是制作单偶数阶幻方的通用方法。对于每一种制作方法，我们较详细地介绍六阶幻方的制作，有的制作方法推广到一般情况。在第 3 页我们已指出，对于由前 36 个连续自然数组成的六阶幻方，其幻和 S 6 =111 。
一、对 调 法
我们在第四章介绍了用对调法制作双偶数阶幻方。在那里，我们可以全部采用穿心对调完成幻方的制作过程。据研究，当阶数为单偶数时，不可能全部采用穿心对调完成幻方的制作过程，还必须采用一些行方向左右对称的对调与列方向上下对称的对调（这两种对调尽量少用的话，制作过程较为简单）。文献 [2] 对这种制作方法作了简单的介绍。这里作较详细的研究。
图 5 — 2 是将六阶自然方阵对调制作六阶幻方。
1 2 3 4 5 6 36 32 4 3 5 31
7 8 9 10 11 12 12 29 27 10 26 7
13 14 15 16 17 18 19 17 22 21 14 18
19 20 21 22 23 24 13 20 16 15 23 24
25 26 27 28 29 30 25 11 9 28 8 30
31 32 33 34 35 36 6 2 33 34 35 1
A 六阶基本初始方阵 B 六阶幻方
图 5 — 2 用对调法制作六阶幻方示例之一
用对调法制作单偶数阶幻方有两种规范对调方案。第一种规范对调具体内容是： 1 、将两条对角线上的六对中心对称的数同时作穿心对调（也就是将两条对角线倒排）。 2 、 将左上区过第 1 行第 2 方格的左上泛对角线 上 的数（图中用空心字表示）作列方向上下对称的对调，。 3 、 将左上区的另一条左上泛对角线 上的数（图中用较小的粗体字表示）作行方向左右对称的对调（显然对于后两步的每一组对调的数只需要标记其中的一个数就可以了）。图 5 — 2B 是将六阶幻自然方阵（图 5 — 2A ）按照第一种规范对调方案制作的六阶幻方。第二种规范对调方案只是将上文中的“第 2 方格”改为“第 3 方格”，大体上是相同的（从图 6 — 3A 到图 6 — 3D 幻方就是作的这种对调）。总之，这两种对调方案共同的特点是左上区的每一个数都参与对调。
对调法可以作多种变通。
一方面，与制作八阶幻方类似，我们也可以采用另外一些六阶初始方阵按照对调法制作，例如图 5 — 3A 是将 1 、 3 、 5 、……、 33 、 35 这些奇数依次写在前 3 行，将 2 、 4 、 6 、……、 34 、 36 这些偶数依次写在后 3 行得到的一个六阶初始方阵（这个初始方阵具有六阶自然方阵的某些性质，例如在图 5 — 3A 中，第 5 行与第 2 行同一位置的两数的差是都是 1 ： 14 — 13=1 、 16 — 15=1 、……，两条对角线上诸数之和等于幻和 111 ）。
1 3 5 7 9 11 36 9 30 7 3 26
13 15 17 19 21 23 14 22 19 17 16 23
25 27 29 31 33 35 35 4 8 6 33 35
2 4 6 8 10 12 25 27 31 29 10 12
14 16 18 20 22 24 13 21 18 20 15 24
26 28 30 32 34 36 11 28 5 32 34 1
A 六阶基本初始方阵 B 六阶幻方
36 28 5 7 9 26 36 3 30 7 9 26
13 22 17 20 16 23 14 22 19 17 16 23
2 27 8 6 33 35 25 4 8 6 33 25
25 10 31 29 4 12 2 27 31 29 10 12
24 21 18 19 15 14 13 21 18 20 15 24
11 3 32 30 34 1 11 28 5 32 34 1
C 六阶幻方 D 六阶幻方
图 5 — 3 用对调法制作六阶幻方示例之二
另一方面，对于规范对调方案中后两步对调的六对数来说，每一对数都可作一种变通 。 具体地说，对于某一列作上下对称的对调的一对数，可以换成与该列左右对称的另一列相同位置的一对数的进行对调（例如图 5 — 2B 中第二列中数 2 与 32 的对调，可以换成第五列中数 5 与 35 的对调）；对于某一行作左右对称的对调的一对数，可以换成与该行上下对称的另一行相同位置的一对数的进行对调。例如制作图 5 — 2C 的方案是将制作图 5 — 2B 的方案中的各对数都作变通而得到的。在用对调法制作六阶幻方时，对于某种确定的对调方法中后两步对调的六对数来说，每一对数都可以变通 ， 也可以不作变通。这样一来，就有 64 （ 64 是六个 2 连乘的积）种不同的变通方案，显得丰富多采。
图 5 — 3 是以其中的 A 图为初始方阵，采用不同的对调方案制作的 3 个六阶幻方。我们在图 5 — 3B 幻方中标记了 3 对行方向对调的数，在图 5 — 3C 幻方中标记了 3 对列方向对调的数，以便读者对于这两种对调有角深的认识。
可以看出，用对调法制作单偶数阶幻方比用穿心对调法制作双偶数阶幻方要复杂得多，并且所制作的幻方都不是中心对称的。
对调法是制作 4m+2 阶幻方的通法，不过当阶数增大时就更为复杂（同时灵活性也更大），这里不作一般性的研究，只给出图 5 — 4 所示的用对调法制作的一个十阶幻方，它所采用的的十阶初始方阵是十阶自然方阵。制作时将 20 对数作穿心对调（左上区中两条泛对角线上的 10 个都参与穿心对调），行方向、列方向各对调五对数。
100 99 3 7 95 6 4 8 92 91
81 89 88 14 16 15 17 83 82 20
30 72 78 77 25 26 74 73 29 21
31 39 63 67 66 65 64 38 32 40
60 42 48 54 56 55 47 43 49 51
50 52 53 44 46 45 57 58 59 41
61 62 33 37 36 35 34 68 69 70
71 22 28 27 75 76 24 23 79 80
11 19 18 84 85 86 87 13 12 90
10 9 93 94 5 96 97 98 2 1
图 5 — 4 用对调法制作十阶幻方示例