二、行列等和方阵拼合法
在第 14 页我们已经指出如果某个方阵的各行、各列诸数之和都相等，这种方阵称为行列等和方阵。行列等和方阵拼合法是制作四个行列等和方阵，将它们拼合成幻方（每一个等和方阵作为一区，要求左上区与右下区的幻方相等，另外两区也是这样），这种方法是制作单偶数阶幻方的重要方法，用这种方法制作六阶幻方的步骤是：
（一）、制作六阶拼合型初始方阵
制作六阶 拼合型初始方阵 （指用于行列等和方阵拼合法的初始方阵）要满足下列 4 项要求： 1 、整个方阵由前 36 个自然数组成。 2 、它的各区每一行从左到右 3 个数都是依次增加同一个数。例如图 5 — 5A 初始方阵中是依次增加数 1 ，图 5 — 6A 初始方阵中是依次增加数 6 。 3 、它的左上区第一列诸数之和等于右下区第一列诸数之和，例如图 5 — 5A 初始方阵中， 1 、 25 、 34 以及 19 、 10 、 31 这两组数之和都是 60 ），另外两区也是这样（例如图 5 — 5A 初始方阵中， 4 、 13 、 28 以及 7 、 22 、 16 这两组数之和都是 45 ）。 4 、它的左上区的中心数与右下区的中心数是互补数，另外两区的中心数也是这样（在图 5 — 5A 初始方阵中， 26 与 11 、 14 与 23 是两组互补数）。
（二）、将初始方阵中每一区（方阵）的数，仿照制作三阶幻方的方法制作成四个三阶行列等和方阵
这一步要将每一区第二行的各个数作为幻方的对角线上的数，例如图 5 — 5A 初始方阵中的 25 、 26 、 27 、 10 、 11 、 12 这 6 个数，组成幻方的左上对角线；初始方阵中 13 、 14 、 15 、 22 、 23 、 24 这 6 个数，组成幻方的右上对角线。据对于对角线的这一要求，制作时应注意以下几点： 1 、左上区与右下区中所采用的主步只能是“下 1 右 1 ”或“下 2 右 2 ”等左上对角线方向的步法， 2 、起点方格（填写该区左上方格的数的方格）不能在幻方的对角线上， 3 、选择转向步时应使该区第二行的第一个数位于幻方的对角线上，并且不在起点方格所在的行、也不在起点方格所在的列（参看第 71 页）。例如在图 5 — 5B 幻方中，主步为“下 1 右 1 ”，转向步为“上 1 ”，使数 25 在幻方的对角线上；又如图 5 — 5D 幻方中，主步为“下 2 右 2 ”，转向步为“上 1 右 1 ”，也使数 25 在幻方的对角线上。左上区与右下区的主步也是相同的，应该是“下 1 左 1 ”或“下 2 左 2 ”等右上对角线方向的。从这些实例可以看出，左上区与右下区只是总的要求相同，两者的具体步法可以不同。如果希望制作过程简单，最好是两者采用相同的步法。
可以证明，采用上述方法制作的 4 个方阵，一定是行列等和方阵，四者拼合所得到的方阵一定是六阶幻方。
1 2 3 4 5 6 26 34 3 4 30 14
25 26 27 13 14 15 1 27 35 29 13 6
34 35 36 28 29 30 36 2 25 15 5 28
7 8 9 19 20 21 7 18 23 11 31 21
22 23 24 10 11 12 17 22 9 19 12 32
16 17 18 31 32 33 24 8 16 33 20 10
A 拼合型初始方阵 B 六阶幻方
25 36 2 5 28 15 25 1 34 6 28 14
3 26 34 30 14 4 36 27 3 29 15 4
35 1 27 13 6 29 2 35 26 13 5 30
8 16 24 10 33 20 18 7 23 12 20 31
18 23 7 21 11 31 8 24 16 32 10 21
22 9 17 32 19 12 22 17 9 19 33 11
C 六阶幻方 D 六阶幻方
图 5 — 5 一个六阶拼合型初始方阵和 3 个六阶幻方
从以上的研究可知，对于一个确定的六阶拼合型初始方阵，可以采用多种步法制作成六阶幻方。要使采用行列等和方阵拼合法制作的六阶幻方的数量多，那就还要制作很多的六阶拼合型初始方阵。
制作六阶拼合型初始方阵有多种方法。一方面，在左上区每一行 3 个数的公差不变的条件下，满足第 3 、第 4 个要求的安排是多种多样的，也就是可以制作多种多样的拼合型初始方阵。例如在图 5 — 5A 中，右上区与下区的数 29 与 8 是一对互补数，我们可以将右上区中的第 2 、第 3 行互换、同时将左下区第 1 、第 2 行互换，得到另外一个满足 4 项要求的拼合型初始方阵。再如可以将左上区与右下区整个儿互换。
图 5 — 6A 也是一个六阶拼合型初始方阵，它的组成特点与图 5 — 5A 大体相同，它各区的每一行依次增加的数是 6 ，它的各区第一列的数是 1 ～ 6 与 19 ～ 24 。图 5 — 6 中还给出了据 A 图制作的一个六阶幻方。
1 7 13 5 11 17 29 1 31 24 17 9
23 29 35 3 9 15 19 35 7 11 3 36
19 25 31 24 30 36 13 25 23 15 30 5
4 10 16 20 26 32 6 14 28 8 20 33
22 28 34 2 8 14 10 22 18 24 14 26
6 12 18 21 27 33 34 12 4 32 27 2
A 拼合型初始方阵 B 六阶拼合型幻方
图 5 — 6 用等和方阵拼合法制作六阶幻方
1 13 25 4 16 28 19 21 23 26 28 30
6 18 30 11 23 35 2 4 6 13 15 17
12 24 36 5 17 29 25 27 29 14 16 18
8 20 32 3 15 27 1 3 5 7 9 11
2 14 26 7 19 31 20 22 24 31 33 35
10 22 34 9 21 33 32 34 36 8 10 12
初始方阵 C 初始方阵 D
图 5 — 7 两个六阶拼合型初始方阵
图 5 — 7 又给出了两个六阶拼合型初始方阵，它们的左上区每一行依次增加的数分别是 12 与 2 。据高治源先生研究，在六阶拼合型初始方阵中，左上区每一行中依次增加的数只能取 6 个数： 1 、 6 、 12 、 2 、 3 、 4 。我们所列举的 4 个初始方阵已经对前 4 种情况各列举了一个实例。对于后两种情况，初始方阵中第 1 列与第 4 列的 12 个数是（ 1 、 2 、 3 、 10 、 11 、 12 、 19 、 20 、 21 、 28 、 29 、 30 ），或者是（ 1 、 2 、 3 、 4 、 13 、 14 、 15 、 16 、 25 、 26 、 27 、 28 ）。
综上可知，据初步计算，用行列等和方阵拼合法能够制作的六阶幻方至少有 5000 个。
1 2 3 4 5 16 17 18 19 20
46 47 48 49 50 36 37 38 39 40
21 22 23 24 25 86 87 88 89 90
71 72 73 74 75 61 62 63 64 65
96 97 98 99 100 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 6 7 8 9 10
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
11 12 13 14 15 76 77 78 79 80
66 67 68 69 70 41 42 43 44 45
91 92 93 94 95 81 82 83 84 85
A 十阶拼合型初始方阵
23 47 1 100 74 37 19 51 63 90
75 24 48 2 96 16 53 65 87 39
97 71 25 49 3 55 62 89 36 18
4 98 72 21 50 64 86 38 20 52
46 5 99 73 22 88 40 17 54 61
67 94 26 58 15 78 32 6 85 44
93 30 57 14 66 45 79 33 7 81
29 56 13 70 92 82 41 80 34 8
60 12 69 91 28 9 83 42 76 35
11 68 95 27 59 31 10 84 43 77
B 拼合型十阶幻方
图 5 — 10 用行列等差方阵拼合法制作十阶幻方示例
这里再给出制作十阶幻方的一个例子。图 5 — 10A 是一个十阶拼合型初始方阵（它的每一区各行依次增加的数是 1 ，其中左上区中 1+46+21+71+96 = 235 ，右下区中 6+31+76+41+81 = 235 。两者是相等的，另外两区的同一位置的两组数的和都是 245 ，它的组成特点与图 5 — 5A 相同）。对于图 5 — 10A 各个区的数， 用数步法（或主步转向步法）制作成 B 图中同一位置的五阶行列等和方阵（注意事项与制作六阶幻方大体相同），就得到图 5 — 10B 这个十阶幻方。在制作十阶幻方时，由于每一区中可能采用的步法比六阶幻方时多得多，因而所能制作十阶幻方的数量更多。
一般来说，随着阶数增大，制作 4m+2 阶拼合型初始方阵的灵活性大得多，所能采用的步法也大大地增加。总之，行列等和方阵拼合法是制作单偶数阶幻方的通用方法，用这种方法制作的 4m+2 阶幻方的数量随着 m 值增大而急剧地增加。
据初步研究，用行列等和方阵拼合法制作的单偶数阶幻方都是每一行、每一列、两对角线上诸数中“小数”（“小数”，参看第 104 页）恰好占一半的幻方。读者会看到，具有这种特点的幻方在下文中将有某种特殊的作用。