三、平移补空法

        文献 [3 ] 对用平移补空法制作单偶数幻方作了很深入的研究。在这一节我们向读者介绍文献 [3] 的精巧设计（某些地方作者作了一些改进与推广）。

        这里首先给出直接填写的图 5 — 9A （它是制作过程图）及由该图 平移补空 （实际上就是平移复位）而得到的六阶幻方图 5 — 9B 。

        观察图 5 — 9 ，不难看出其制作规律是：

1 、对于六阶自然方阵第 3  ～  6 行的数，每一行按“弧形”从上到下依次填写的（例如在图 5 — 9A 中，将六阶自然方阵第 3 行的数 13 、 14 、 15 ，从右上角起开始向右下方向填写，然后将数 16 、 17 、 18 接着向左下方向填写）。制作六阶幻方时，将六阶自然方阵中间两行的数填写在幻方的两条对角线上，使两条对角线上的数组是六阶幻和数组。

2 、六阶自然方阵的前两行各数是从下到上依次 相间填写 的：第一行的六个数“先左后右”相间填写 ( 例如数 0+1 、 0+3 、 0+5 填在左边，其余三数填在右边）；第二行的六个数“先右后左”相间填写。

    ＼            ＼                                        ／            ／＼       ＼                   ／         ／

     25   12   19     *    *     *      *    13   11   31        19   25   12   11   31   13

            26   10   20    *     *    14     9   32                10   20   26   32     9   14

                   27     8   21   15     7   33                       27     8   21   15     7   33

                   28     5   12   16     6   34                       28     5   12   16     6   34

            29     3   13     *     *    17    4  35                   3   13   29   35   17     4 

      30    1   24     *     *     *      *   18    6   36          24   30     1     6   36   18

            ＃                                        ＃                           ＃     ＃

                                A                                                   B

           图 5 — 9    用平移补空法制作和形式六阶幻方过程示例

        在用平移补空法制作的各个幻方中，本书都用向上的箭头、向下的箭头与“＃”三种标记依次表示从上到下填写、从下到上填写与相间填写。这些标记都安排在自然方阵每一行的第一个数的上方或下方。增加这些   标记，一定能使大家阅读更加方便。

         平移补空法有多种变通，   图 5 — 10 就是将制作图 5 — 9B 幻方的方法作某种变通而制作的两个六阶幻方。前者是改变了自然方阵中四行数的填写位置，后者是改变了相间填写的方法（将蛇形填写改为左、右、右、左  /  左、右、右、左  /  左、右、右、左    ，当阶数增大时，将“左、右、右、左   ”重复多次，一直到将自然方阵的两行数填写完）。  

  ＼          ＼           ／              ／            ＼          ＼           ／              ／

  19   12   25   31   11   13                  19   25   12   13   31   13

  26   20     9   10   14   32                    9   20   26   32   14   10

    8   27   21   15   33     7                  27     8   21   15     7   33

    5   28   22   16   34     6                  28     5   22   16     6   34

  29   23     4     3   17   35                    4   23   29   35   17     3

  24     1   30   36     2   18                  24   30     1     2   36   18

        ＃                  ＃                                 ＃     ＃           

                      A                                               B       

          图 5 — 10   用平移补空法制作的两个六阶幻方             

          文献 [3] 已将这种方法的要点交代、并将此法推广到制作任何一种单偶数阶幻方。其要点是：

A 、从上到下填写（全部是一般填写）的行数应比总行数的一半还要多 1 。

B 、“相间填写”（蛇形填写或另外一种形式填写）的两行必须是自然方阵相邻的两行的数，这些数必须填写在整个幻方左右对称的位置。

C 、两条对角线上应填写自然方阵中上下对称的某两行的数，使两条对角线上诸数的和一定能够等于幻和（只有这样，才能使幻方的两条对角线上诸数之和等于幻方。例如在图 5 — 11 中，两对角线上是填写的十阶自然方阵第 3 、第 8 行的数）。   

D 、除了“相间填写”的两行以外，   应将其余各行的序号分成两组、使两组中各行的序号数的和是相等的。例如在图 5 — 9B 幻方中，除了行的序号数 1 与 2 以外，左侧各行的序号数的和为 5+4=9 ，右侧各行的序号数的和为 3+6=9 ，两者是相等的。又如在图 5 — 11 这个用平移补空法制作的十阶幻方中，相间填写的是第 4 、第 5 行。除了这两行以外，幻方中左侧的行号是 3 、 9 、 10 、 1 ，右侧的行号是 7 、 6 、 2 、 8 ，两者的行号之和都是 23 。

据这些要点，用平移补空法制作单偶数阶幻方的灵活性是比较大的。只有制作六阶幻方时，两条对角线上只能填写六阶自然方阵的中间两行，灵活性较小。

        文献 [3] 作者刘缉熙先生的精巧设计，使得平移补空法成为丰富多采的、单偶数阶幻方的一种通用制作方法。

        图 5 — 11 是作者用这种方法制作的一个十阶幻方，制作过程从略。在该幻方的上方与下方，也采用“＃”等符号标记十阶自然方阵中各行的数的填写方案。

                       ＼         ＼    ＼                             ／     ／            ／

                       21   50   81   91   10    70   51   11   49   71

                           9   22   47   82   92   52   12   48   72   69

                         93     8   23   46   83   13   45   73   68   53

                         84   94     7   24   43   44   74   67   54   14

                        42   85   95     6   25   75   66   55   15   41

                        39   86   96     5   26   76   65   56   16   40

                        87   97     4   27   38   37   77   64   57   17

                        98     3   28   35   88   18   35   78   63   58

                          2   29   34   89   99   59   19   33   79   62

                        30   31   90 100     1   61   60   20   32   80

                           ＃                   ＼   ／                    ＃

                  图 5 — 11     用平移补空法制作的十阶幻方

        文献 [3] 中给出了用平移补空法制作的一个 14 阶幻方，该幻方相间填写的是自然方阵第 13 、 14 行的数，这两行的数是按照第二种相间填写方法依次填写的。这里只给出该幻方首尾两行以及第一列的各个数，据这些数据以及平移补空法的制作规则，感兴趣的读者不难制作出整个 14 阶幻方。

        第一行依次各个数：（ 99 、 195 、 168 、 113 、 14 、 29 、 71 、 57 、 43 、 28 、 127 、 154 、 196 、 85 ）；

         最后一行依次各个数：（ 112 、 170 、 155 、 126 、 1 、 42 、 84 、 70 、 56 、 15 、 140 、 141 、 169 、 98 ）

         第一列依次各个数（ 99 、 72 、 31 、 11 、 117 、 163 、 183 、 182 、 160 、 122 、 4 、 40 、 83 、 112 ）。