第六章    四阶纪念幻方的制作及其它

在前五章，我们所研究的都是由于前 n  2  个自然数组成的 n 阶幻方（ n 为大于 2 的自然数），为了明确起见，本书将这一类幻方统称为 n 阶狭义幻方 。而将不是由 n  2  个自然数组成的 n 阶幻方称为 n 阶广义幻方 。从这一章起，本书对广义幻方作较多的研究。

在第 3 页，我们给出了 n 狭义幻方幻和的一个统一的确定的计算公式。对于 n 阶广义幻方来说，仅仅在组成某个幻方的自然数有某些规律时，我们才考虑如何计算它的幻和。例如，如果组成某个偶数阶幻方的各个数从小到大依次排列时，顺数第  t （ t 为自然数）个数与倒数第  t  个数之和都等于同一个数 a ，那么该幻方的幻和等于数 a 与阶数之积的一半。

在第二章，我们对狭义四阶幻方作了较详细的研究，指出这种四阶幻方有 880 个，这些四阶幻方按照各对互补数的分布规则分成 12 类，另外又可以分为四阶特殊幻方与四阶普通幻方两大类。这一章专门研究广义四阶幻方。

一、广义四阶幻方的两种特殊情况

这一节介绍广义四阶幻方的两种特殊情况。

（一）    如果组成广义四阶幻方 1 的 16 个数是从某一个自然数 a 起的连续自然数，那么将任何一个狭义四阶幻方的各个数都加上数 a- 1 ，就得到符合要求的广义四阶幻方。例如要制作从 5 起的 16 个连续自然数组成的广义四阶幻方，可以将图 6 — 1 这个狭义四阶幻方的各个数都加上数 4 ，就得到图 6 — 3A 这个满足要求的广义四阶幻方。

（二）    如果组成广义四阶幻方 1 的 16 个自然数是从某一个自然数 a 起，依次加上同一个自然数 b 得到的的一系列自然数（例如将图 6 — 2 中的 16 个自然数组成广义四阶幻方，其中数 a 是 3 、数 b 是 4 ）。那么，可以取任何一个狭义四阶幻方作为模型幻方，将这一系列自然数从小到大依次代换模型幻方中 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、……、 16 各个数，就得到符合要求的广义四阶幻方。例如将图 6 — 2 中的各个数依次代换模型幻方图 6 — 1 中的各个数（例如数 3 代换数 1 、数 7 代换数 2 、数 11 代换数 3 、……），就得到图 6 — 3B 这个满足要求的广义四阶幻方。这种方法称为 依次代换法 。

对于这种情况，四阶幻方的幻和是幻方中最小自然数与最大自然数的和之 2 倍，例如图 6 — 3B 幻方的幻和是（ 3+63 ）× 2 = 132 。

  1   15   14     4          3     7   11   15          5   19   18     8          3   59   55   15

12     6     7     9        19   23   27   31        16   10   11   13        47   23   27   35

  8   10   11     5        35   39   43   47        12   14   15     9        31   39   43   19

13     3     2   16        51   55   59   63        17     7     6   20        51   11     7   63

狭义四阶幻方         初始方阵                S = 50                 S = 132

        图 6 — 1                 图 6 — 2                   图 6 — 3   广义四阶幻方

         对于这种情况，四阶幻方的幻和等于数 a 的 4 倍与 34 之和，例如图 6 — 3A 幻方的幻和是 4 × 4+34 = 50 。