二、“缺 9 式”与“缺 5 、 14 式”四阶幻方
这一节介绍许先生文献 [32] 中的一部分研究成果。
A 、“缺 9 式”幻方
“缺 9 式”四阶幻方是指由 1 ～ 8 、 10 ～ 17 这 16 个自然数组成的广义四阶幻方。
据许先生研究，在 880 个狭义四阶幻方中有 712 个幻方可以作为制作“缺 9 式”四阶幻方的模型幻方，只要将模型幻方中后 8 个数分别加上 1 就得到“缺 9 式”四阶幻方（这种制作简称为模仿制作）。用模仿制作可以制作 712 个不同的“缺 9 式”四阶幻方。
许先生经多年研究，另外制作了 336 个“缺 9 式”四阶幻方。其中包括轴对称型幻方 256 个、边轴对称中将步型等 4 类幻方各 16 个、半炮步半马步型与将步马步相隔型幻方各 8 个，许先生在他的大作中列举了另外制作的 336 个四阶幻方。
为了避免将模仿制作的四阶幻方混杂在里面，许先生先给出（ 5 ， 7 ， 8 ， 16 ）、（ 5 ， 7 ， 8 ， 15 ）、（ 4 ， 7 ， 8 ， 117 ）、（ 5 ， 6 ， 8 ， 17 ）这 4 个模仿制作的“缺 9 式”四阶幻方中不可能出现的幻和数组。然后按照在四阶幻方中某一行、某一列或者某一对角线上出现上述某个数组的情况，将所制作的“缺 9 式”四阶幻方分成 4 个部分。依次排列，许先生的这种方法显然是很科学的。图 6 — 4 中的 4 个四阶幻方是许先生所列举的四阶幻方中的四个（含以上 4 个幻和数组的四阶幻方各一个，各自所含的幻和数组都标记在幻方的下方）。
7 5 16 8 2 17 4 13 7 17 4 8 6 7 13 10
3 17 4 12 8 15 6 7 3 5 16 12 14 17 3 2
15 13 2 6 10 1 14 11 15 1 14 6 4 11 5 16
11 1 14 10 16 3 12 5 11 13 2 10 12 1 15 8
含（ 5 7 8 16 ） 含（ 6 7 8 15 ） 含（ 4 7 8 17 ） 含（ 5 6 8 17 ）
图 6 — 4 四个“缺 9 式”四阶幻方（ S=36 ）
（ B ） “缺 5 、 14 式”幻方
“缺 5 、 14 式”四阶幻方是指由 1 ～ 4 、 5 ～ 13 、 15 ～ 18 这 16 个自然数组成的广义四阶幻方。
据许先生研究，在 880 个狭义四阶幻方中有 646 个幻方可以作为模型幻方，只要将模型幻方中的数 5 ～ 12 分别加上 1 、数 13 ～ 16 分别加上 2 就得到“缺 5 、 14 式”四阶幻方。用模仿制作可以制作 646 个不同的“缺 5 、 14 式”四阶幻方。
许先生另外制作了 248 个“缺 5 、 14 式”四阶幻方，由于情况比较复杂，许先生将其中的 112 个四阶幻方按照（ 6 7 9 16 ）、（ 6 8 9 15 ）、（ 6 7 8 17 ）、（ 6 8 9 15 ）这 4 个幻和数组分类排列，其余的则按照四阶幻方的类别进行排列。
如果仍然按照八对互补数的分布规则对四阶幻方分类，在 248 个新制作的四阶幻方中，出现了图 6 — 5 中所示的 6 个新的类别四阶幻方。这 6 类四阶幻方的共同特点是每一类中都有三种分布规则：一种适用于 4 对互补数、另两种各适用于 2 对互补数（请读者在这些四阶幻方中细心观察）。这 61 个类别四阶幻方，也就使四阶幻方的对应连线图增加了 6 种。
2 18 10 8 2 10 18 8
9 13 15 1 16 6 4 12
16 4 6 12 9 15 13 1
11 3 7 17 11 7 3 17
A 中心对称马士步型 B 中心对称马象步型
3 16 12 7 3 12 16 7 9 18 10 1 15 2 8 13
8 15 13 2 10 9 1 18 4 11 17 6 6 11 17 4
10 1 9 18 8 13 15 2 12 7 3 16 16 7 3 12
17 6 4 11 17 4 6 11 13 2 8 15 1 18 10 9
C 偏心对称 D 半边心 E 偏心对称 D 半边心
夹炮步将步型 将步炮步型 夹将步炮步型 炮步将步型
图 6 — 5 “缺 5 、 14 式”幻方中新出现的 6 类四阶幻方