五、用依次代换法制作纪念幻方

         将同位定差初始方阵中的 16 个数 x  1 、 x  2 、 x  3 、 x  4 、 x  5 、……、 x  16   制作 A 型四阶纪念幻方的方法是取图 6 — 15 这个四阶幻方作为模型幻方进行依次代换（依次代换，参看第 158 页），用初始方阵中数 x  1 代换模型幻方中的数 1 （余类推）。例如将图 6 — 16 初始方阵按照图 6 — 15 模型幻方依次代换后，就得到图 6 — 17 这个四阶纪念幻方。

       1   10   15     8                19   29     3     8                 19   27    47     7

       7   16     9     2                18   28     2     7                  2   52   17   29

     12     3     6   13                17   27     1     6                  6     3   28   63

     14     5     4   11                63   73   47   52                 73   18      8     1

图 6 — 15   模型幻方   图 6 — 16   初始方阵   图 6 — 17   四阶纪念幻方

  19   52     4   10        19   49    21   11        19   23     3     7        19   21    32   28

  20   53     5   11       65   27   16   52        40   44   24   28       24   36   17   23

  16   49     1     7         7     4   53   36        17   21     1     5         5     3   44   48

  36   69   21   27       69   20    10     1         48   52   32   36       52   40      7     1

    A   初始方阵        B 纪念幻方        A   初始方阵        B   纪念幻方

   图 6 — 18   新中国成立纪念幻方      图 6 — 19  “七一”纪念幻方

         这里再列举图 6 — 18 与图 6 — 19 两个实例，以便读者对依次代换法有较深的了解。

         可以证明，将满足要求的四阶初始方阵按照图 6 — 15 模型幻方代换法后得到的四阶方阵，一定是满足要求的四阶纪念幻方。

         如上文所述，当纪念数据与幻和确定后，步骤 3 中数 x  3 有多种可能，对于每一个数 x 3 ，步骤 5 中的数 x 7 又有多种可能。因而往往可以制作成数十个合格的四阶初始方阵，进而制作数十个四阶纪念幻方。作者曾对“七、一”与“十、一”纪念幻方（取幻和为 100 ）作详细的研究，这两种纪念幻方分别可以制作 98 个与 92 个。例如取 x 3 =2 时，数 x 7 可以取 3 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 15 、 23 、 24 、 27 、 28 、 31 、 32 、 40 、 43 、 44 、 45 、 46 、 47 、 52 这 26 个值（这 26 个数值中有 3+52 = 8+47 =  ……  = 27+28 这种成对的特点）。可以证明，在按照上文所述的方法制作四阶初始方阵时，当四个纪念数据与数 x 3 、 x  7 确定后，最多只能得到一个四阶初始方阵。