九、制作 144 个由相同自然数组成的四阶幻方

以上我们对用“同位定差”初始方阵制作四阶纪念幻方作了较为详细的研究。这里我们进一步指出，如果不要求使纪念数据安排在某些特定的方格，每一个“同位定差”初始方阵，都可以制作 144 个不同的四阶六花幻方。

为了便于叙述，这里先介绍四阶幻方的 12 个不同的重排码是（ 4 个数任意排列的话，本来有 24 种排法，将这些排法作为重排码其实际效果只有 12 种不同的情况，因而只取其中的 12 个作为重排码）：

1 2 3 4 、 1 2 4 3 、 1 3 2 4 、 1 3 4 2 、 1 4 2 3 、 1 4 3 2 、

2 1 3 4 、 2 1 4 3 、 2 3 1 4 、 2 4 1 3 、 3 1 2 4 、 3 2 1 4 。

对于给定的一个同位定差初始方阵 M ，具体的制作方案有下面三种：

一、选取 144 个不同的四阶狭义幻方作为模型幻方进行制作，所选取的四阶狭义幻方应该都是四阶特殊幻方，而且这些四阶幻方的各个行数组、各个列数组、两对角线数组必须都是四阶自然方阵的行列均匀分布数组（第二章中图 2 — 1 、图 2 — 8  ～   图 2 — 13 中的各个四阶幻方都是满足这一要求的）。以同位定差方阵 M 为初始方阵，按照这 144 个模型幻方“依次代换”所制作的 144 个四阶方阵一定是 144 个不同的四阶幻方。

二、将初始方阵 M 作各种行列重排变换（行方向与列方向各自可以作 12 种重排变换，两者配合起来，一共有 144 种行列重排变换），得到 144 个不同的四阶初始方阵。再取上文所说的 144 个狭义四阶幻方中的某一个幻方作为模型幻方（例如以图 6 — 24 为模型幻方），将所得到的 144 个初始方阵分别进行“依次代换”，得到的 144 个四阶方阵一定是 144 个不同的四阶幻方。

三、取前 6 个四阶重排码作为行重排码与列重排码，两者配合，得到 36 个行列重排码。将初始方阵 M 作这 36 种行列重排变换得到 36 个初始方阵，然后仿方案二制作 36 个四阶方阵（这些方阵都是四阶幻方）。最后将这 36 个四阶方阵各自作各个“半幅移动”（参看第 39 页），所得到 144 个四阶方阵也一定是 144 个不同的四阶幻方。

以上三种方案所得到的 144 个四阶幻方从整体上说是完全相同的。在以上三种方案中，第三种方案显然是较为理想的，使用较为方便的。