十、广义四阶完美幻方的制作
图 6 — 26 中给出了四个方阵，它们都是“同位定差”四阶方阵。它们都不同于上文中所列举的四阶同位定差方阵，还具有某些特殊性。在图 6 — 26A 中，每一行依次增加的三个数依次是 1 、 5 、 1 （这就是 A 图上方依次标记的 3 个数的含义）。同时，在图 6 — 26A 中，每一列依次增加的三个数依次是 10 、 70 、 10 （这就是 A 图下方括号内依次标记的 3 个数的含义）。对于这种行方向与列方向的 3 个差都具有首尾两个差相同的四阶同位定差方阵，本书称为 四阶行列差对称方阵 。
图 6 — 26 中的另外 3 个方阵也是四阶行列差对称方阵，这些方阵中行方向与列方向的 3 个差也都标记在方阵的上方与下方。
一般说来， 16 个数必须能够组成四阶行列差对称方阵，这些数才能够组成一个四阶完美幻方 。
6 4 6 2 10 2 2 4 2
7 13 17 23 17 19 29 31 101 103 107 109
31 37 41 47 59 61 71 73 1481 1483 1487 1489
73 79 83 89 137 139 149 151 2081 2083 2087 2089
97 103 107 113 179 181 191 193 3461 3463 3467 3469
（ 24 、 42 、 24 ） （ 42 、 78 、 42 ） （ 1380 、 600 、 1380 ）
A B C
图 6 — 26 四阶行列差对称方阵示例
图 6 — 26 中的 4 个初始方阵还有一个特点，组成它们的每一个自然数都是质数（指大于 1 ，并且除了它本身与 1 以外再没有别的约数的自然数）。全部由质数组成的幻方称为质数幻方。
可以证明， 取某个狭义四阶完美幻方作为模型幻方，将任何一个四阶行列差对称方阵作为初始方阵，按照依次代换的方法，就一定得到一个广义四阶完美幻方 。
23 103 41 73 31 181 71 137 109 3463 1487 2081
107 7 89 37 191 17 151 61 3467 101 2089 1483
79 47 97 17 139 73 179 29 2083 1489 3461 107
31 83 13 113 59 149 19 193 1481 2087 103 3469
A （ S=240 ） B （ S=420 ） C （ S=7140 ）
图 6 — 27 四阶质数完美幻方三例
当所取的模型幻方依次各个数是 4 、 14 、 7 、 9 / 15 、 1 、 12 、 6 / 10 、 8 、 13 、 3 / 5 、 11 、 2 、 16 ，并且将图 6 — 26 各个分图作为初始方阵时，依次代换所制作的三个广义四阶完美幻方分别如图 6 — 27 所示。
在图 6 — 27 中的三个四阶质数完美幻方中， A 图是幻和最小的； B 图是由 8 对孪生质数组成的（一对 孪生质数 是指 a 、 a+2 这样的两个质数，例如 5 与 7 、 59 与 61 是两对孪生质数），在这样的限制条件下，它的幻和是最小的； C 图则是由四组连续孪生质数组成的（在本书中， 一组连续孪生质数 是指 a 、 a+2 、 a+6 、 a+8 形式的两对孪生质数，例如 5 、 7 、 11 、 13 是一组连续孪生质数； 101 、 103 、 107 、 109 也是一组连续孪生质数）。
如果某 16 个数能够排列成四阶行列差对称方阵，用它们可以制作多少个不同的四阶象步型幻方呢？据研究，只能够制作 48 个。另外至少还可以制作 384 个六花四阶幻方（四阶幻方的总数不少于 432 个）以及 96 个轴对称型四阶幻方。对于这一个问题，请参看文献 [32] 。这表明，只要找到了能够组成四阶行列差对称方阵的某 16 个各自不相同的质数，就能够制作 528 个不同的四阶质数幻方，这些幻方组成一个庞大的家族。