十二 、 四阶积幻方
这里先给出几个概念： 1 、在每一个方格中都恰好填写两个自然数的方阵，并且在整个方阵中所有的自然数是各不相同的，称这个方阵为 二元方阵 ，例如图 6 — 32 是二元方阵。类似的有 二元幻方 的概念。 2 、如图 6 — 30 所示的各行、各列、两对角线上诸数的积都相等的方阵称为 四阶二元积幻方 ，相等的乘积称为 幻积 （图 6 — 30 幻方的幻积是 6720 ），显然积幻方都是广义幻方，由连续自然数组成的幻方显然不可能是积幻方。作者是在认真学习文献 [28] 所介绍的几个四阶积幻方受到启发后，才得以写出这一节文字的。
1 12 10 56 （ 79 ） 1 × 1 4 × 3 2 × 5 8 × 7
40 14 4 3 （ 61 ） 8 × 5 2 × 7 4 × 1 1 × 3
28 5 24 2 （ 59 ） 4 × 7 1 × 5 8 × 3 2 × 1
6 8 7 20 （ 41 ） 2 × 3 8 × 1 1 × 7 4 × 5
（ 75 39 45 81 ）
A 自然数形式 B 积形式
图 6 — 30 四阶积幻方的不同表现形式
图 6 — 30B 揭示了图 6 — 30A 这个四阶积幻方的组成秘密（ A 图中每一数由两个数相乘而得到）。图 6 — 30B 的结构是很特殊的： 1 、它的各个方格中第一个乘数取 1 、 2 、 4 、 8 这四个数值，每一个数值在方阵的各行、各列、两条对角线上都是均匀分布的。 2 、它的各个方格中第二个乘数取 1 、 3 、 5 、 7 这四个数值，也具有在各行、各列、两对角线上均匀分布的特点。 3 、第一个乘数与第二个乘数是配合得很好的，使得到的各个乘积是 16 个各不相同的自然数。据研究，这是制作四阶积幻方必须满足这三个条件。
我们作进一步的研究，考察图 6 — 30A 这个积幻方是不是还有某些特点： 1 、计算这个积幻方各行诸数的和，依次得到 79 、 61 、 59 、 41 这四个数，其中 79 + 41 = 120 、 61 + 59 = 120 ，两者是相等的。列方向的四个和依次是 75 、 39 、 45 、 81 这四个数，也有 75 + 45 = 39 + 81 = 120 的特点（在图 6 — 30A 这时四阶积幻方中，我们将行方向四个和、列方向四个和都标记在幻方的右方与下方）。行方向、列方向这种相等的现象不是偶然的，而是由于图 6 — 30B 第一行的第二个乘数依次四个数值 1 、 3 、 5 、 7 具有 1 + 7 = 3 + 5 这样的特点所带来的必然结果。 2 、图 6 — 30B 这个积幻方的各个田格、各个变形田格、各个梯级、各个 Q 方中的 4 个乘积中的 8 个乘数都遍取 1 、 8 、 4 、 2 、与 1 、 3 、 5 、 7 这 8 个不同的值，因而这 16 个图形中各个乘积是相等的。也就是这个积幻方是四阶六花积幻方。
15 52 22 72 （ 161 ） 1 × 15 4 × 13 2 × 11 8 × 9
88 18 60 13 （ 179 ） 8 × 11 2 × 9 4 × 15 1 × 13
36 11 104 60 （ 181 ） 4 × 9 1 × 11 8 × 13 2 × 15
26 120 9 44 （ 199 ） 2 × 13 8 × 15 1 × 9 4 × 11
（ 165 201 195 169 ）
A B
图 6 — 31 另一个四阶积幻方
据此，我们可以仿照图 6 — 30A 幻方制作具有这一特点的新的四阶积幻方。例如使图 6 — 30B 幻方第一个乘数不变，将第二个乘数 1 、 3 、 5 、 7 依次换成 15 、 13 、 11 、 9 （方阵中每一个方格都要这样依次代换），就得到图 6 — 31B 这个四阶积幻方。在这个新的四阶六花积幻方中，行方向四个和、列方向四个和也标记在幻方的右方与下方。它确实与图 6 — 30A 积幻方具有同样的和相等的特点，它的幻积是 1235520 。