十三、四阶二元双重幻方

如图 6 — 32A 所示的各行、各列、两条对角线上诸数的和都相等、诸数的积也都相等的二元方阵称为 四阶二元双重幻方 ，或称为 四阶二元和积数方 ，相等的和称为 幻和 、相等的积称为 幻积 。图 6 — 32A 这个四阶二元双重幻方的幻方和是 240 、幻积是 8302694400 。

只要将图 6 — 30 与图 6 — 31 这两个四阶积幻方中各个同一位置的自然数拼合起来就得到图 6 — 32A 这个四阶二元双重幻方。为什么会得到四阶二元双重幻方呢？

        1 、由于拼合前的两个方阵都是积幻方，拼合后每一行、每一列、两对角线上 8 数之积显然是相等的（图 6 — 32A 幻方的幻积是 6720 × 1235520 = 8302694400 ）。 2 、由于拼合前的两个方阵都具有行方向、列方向之和的某种相等的关系，而且拼合前的两个方阵相等的和作了错位安排，因而拼合后每一行、每一列、两对角线上 8 数之和也是相等的（图 6 — 32A 幻方的幻和是 120+360 = 480 ）。

        图 6 — 32B 则是用类似的方法制作的另一个四阶二元双重幻方，它的幻和、幻积都与图 6 — 32A 的取值相同。

       1, 15   12, 52   10, 22   56, 72            1, 15    20, 44     6, 26   56, 72

     40, 88   14, 18     4, 60     3, 13          24,104   14, 18     4, 60     5, 11

     28, 36     5, 11   24,104    2, 30          28, 36      3, 13    40, 88    2, 30

       6, 26    8,120     7,  9    20, 44          10, 22      8,120    7,   9   12, 52

                            A                                                  B

                             图 6 — 32   两个四阶二元双重幻方  

         同样的，这样制作的四阶二元双重幻方也是四阶二元六花双重幻方。也就是它有 4 个行数组、 4 个列数组、 4 个田格数组、 4 个变形田格数组、 4 个梯级数组、 4 个 Q 方数组一共 24 个固定位置的幻和幻积数组。

附：只有 16 个幻和数组的四阶幻方

据许仲义先生研究，每一个四阶幻方至少有 14 个幻和数组—— 4 个行数组、 4 个列数组、 4 个变形田格数组、 2 个对角线数组。狭义四阶幻方有 86 个幻和数组，大多数广义四阶幻方的幻和数组的数量也不少于 40 个。作者试图制作只有 14 个幻和数组的四阶幻方，未能成功。仅于 2002 年 1 月 15 日制作了一批只有 16 个幻和数组的四阶幻方。 A 图与 B 图是其中的两个（ B 图是将 A 图作“行列 1 3 2 4 ”同步重排变换得到的）。在 A 图幻方中多出来的 2 个幻和数组是（ 32 ， 37 ， 82 ， 101 ）与（ 31 ， 37 ， 83 ， 101 ）。

作者曾对组成 A 图四阶幻方的 16 个自然数作多次调整，使之成为只有 14 个幻和数组的四阶幻方。结果，所得到新的四阶幻方的幻和数组往往多于 16 个，也得到了少量只有 16 个幻和数组的四阶幻方。

                 1   131     83     37             32     99     81     40

                 99     32     40     81           131       1     37     83

                 59     82     98     13               7     93   121     31

                 93       7     31   121             82     59     13     98

                           A                                   B

             两个只有 16 个幻和数组的四阶幻方（ S = 252 ）