二、九个数组成三阶幻方的条件

         九个连续自然数显然能够组成三阶幻方（参看第 158 页）。那么，九个非连续自然数应满足怎样的条件，它们才能组成三阶幻方呢？

        为了便于叙述，   我们先给出等差数列的概念：一些数排成一列，如果从第二个数起，每一个数减去前一个数的差是同一个数，称这一列数组成一个 等差数列 。 相同的差称为 公差 。 例如 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 13 这五个数组成一个公差为 3 的等差数列； 16 、 11 、 6 是公差为— 5 的等差数列（ 11 — 16 =  — 5 ，差“— 5 ”表示被减数比减数少 5 ，它读作“负 5 ”）。

    1    4     7         5     17     29            71     101     131        1931   2141   2351

 28   31   34       47     59     71         2381   2411   2441       2591   2801   3011

 55   58   61       89    101   113        4691   4721   4751       3251   3461   3671

  （ 3 ， 27 ）       （ 12 ， 42 ）        （ 30 ， 2310 ）          （ 210 ， 660 ）

      图 7 — 2           图 7 — 3                   图 7 — 4                    图 7 — 5

           在一个三阶方阵中，如果同时满足条件：（ A ）它的每一行各个数都是依次加上同一个数，也就是它的每一行各个数组成公差相同的等差数列（这个公差称为 行差， 记作 H ），（ B ）它的每一列也是公差相同的等差数列（这个公差称为 列差， 记作 L ），（ C ）方阵中九个数各不相同。我们称这个方阵为 三阶行列等差方阵 。例如从图 7 — 2  ～   图 7 — 5 这四个三阶方阵都是三阶行列等差方阵，方阵下方括号中的两个数依次是行差 H 与列差 L 。显然，三阶行列等差方阵的行差 H 与列差 L 是不可能相等的。

         一般地说，有这样两个结论：

        1 、    如果九个数可以排列成一个三阶行列等差方阵，那么它们可组成一个三阶幻方，也只能组成一个三阶幻方。  2  、   如果九个数不能排列成三阶行列等差方阵，那么它们不能组成三阶幻方。

         例如从图 2  — 1 到图 2  — 4 这四个三阶行列等差方阵中，各个方阵中的九个数都能组成三阶幻方（这些图下方的括号中，第一个数为行差 H 、第二个数为列差 L ） 。 如果将某个三阶行列等差方阵某一行各个数都加上 1 、其余的数不变，所得到方阵 E （方阵 E 不再 是三阶行列等差方阵）中的九个数不能组成三阶幻方。以上两个实例，说明了两个结论是正确的。

         这两个结论表明，九个数能够组成三阶行列等差方阵，是这些数能够制作成三阶幻方的足够的、必不可少的条件（中学数学教材中称为 充分必要条件 ）。

        说明   ： 1 、第一个结论中的“只能组成一个”，   是考虑到幻方的计数规则而得到的重要结论。有了这个结论，对于确定的满足条件的九个数，我们就不必为用这些数制作另一个三阶幻方而浪费时间。   2 、    对于任何一个三阶行列等差方阵，本来也有 8 种不同的形式，我们约定全部采用行差 H 与列差 L 同时为正数、并且使 H > L 的形式（也就是约定使方阵中最小的数在左上角，并且使第一列的第二个数大于第一行的第二个数）。从图 2 — 1 到图 2 — 4 这些三阶行列等差方阵都是采用的这种形式。