从幻方到幻矩阵

牛国良

    幻方是这样定义的一个方阵：把1到N*N排成一个N*N方阵，使得所有行、列及两个大对角线上的N个数字的和都相等。这个方阵就叫作N阶幻方。相等的那个和叫作幻和。若以H表示幻和，则H=N*（N*N+1）/2。
    已经证明，对于大于2的所有自然数，都存在N阶幻方。

    如果我们放宽要求，不要求是个方阵，只要求是个矩阵就行，那么可以提出如下的幻矩阵概念。

    幻矩阵：对于自然数M和N，把从1到M*N的所有数排成M行N列，使得每行N个数的和相等，且每列M个数的和相等。这样得到的矩阵就叫作M*N“幻矩阵”。把每行相等的和叫作“行幻和”，记作HH；把每列相等的和叫作“列幻和”，记作LH。
    显然，幻方是一种更加特殊的幻矩阵。由于幻方已经研究得比较充分，其存在性问题已经解决，其构造也研究出好几种方法。所以我们只研究M不等于N的幻矩阵。

    容易得到，如果存在M*N“幻矩阵”，那么：
          HH=N*（M*N+1）/2
          LH=M*（M*N+1）/2

    显然，HH和LH必须都是整数，由此得到如下定理。

定理1：如果存在M*N幻矩阵，则M和N必须同时是奇数或同时是偶数。

    显然，当M=1时，M*N幻矩阵不存在。当M=2、N=2时，2*2幻矩阵也不存在。

    现在的问题是：是否对于M>=2,N>=3,且满足定理1条件的所有M,N对,都存在M*N幻矩阵?

    由此提出如下猜想：

猜想：对于M>=2,N>=3,且满足定理1条件的所有M,N对,都存在M*N幻矩阵。

    M=2、N=4时,存在如下一个2*4幻矩阵：

      1  7  6  4
      8  2  3  5

    M=2、N=6时,存在如下一个2*6幻矩阵：

      1  11   3  9  8  7
     12   2  10  4  5  6

    根据以上两个幻矩阵，我们可以构造M=2、N是大于3的偶数时的M*N幻矩阵。

（1）若N=4K，K是自然数。则2*N幻矩阵可以如下构造：

    仿照2*4幻矩阵，4位一段。将1、2、3、4按照2*4幻矩阵的方法填写，然后同样方式填写5、6、7、8，......，一直到4K，然后反向填写其余的数字。举例如下：

    对于2*8幻矩阵，可以如下构造：
    1 15 14  4  5 11 10  8
   16  2  3 13 12  6  7  9

（2）若N=4K+6，K是非负整数。则2*N幻矩阵可以如下构造：

    将N划分成K个4段和一个6段。K个4段的前面4K个数字的填写按照和（1）类似的方式，对那个6段，将中间的12个数字按照2*6幻矩阵的顺序填写，然后反向填写其余4K个数字。举例如下：

    对于2*10幻矩阵，可以如下构造：

    1  19  18  4  5 15  7 13 12  11
   20  2   3 17 16  6 14  8  9  10

    由此可以得到如下定理：

定理2：若N是大于3的偶数，存在2*N幻矩阵。

    对于一个已经存在的M*N幻矩阵，我们可以交换它的行或者列，容易证明，交换后得到的M*N矩阵仍然是一个M*N幻矩阵。由此，我们可以将一个M*N幻矩阵进行若干次行、列交换，最终可以得到一个满足如下条件的M*N幻矩阵：

    将M*N幻矩阵的元素用A（i，j）表示，将第i行的最小元素表示为M(i)。
（1）A（1，1）=1，且第一行元素按照升序排列；
（2）M(1)<M(2)<M(3)<......<M(M)。

将满足上述两个条件的M*N幻矩阵叫作“M*N规范幻矩阵”。

    当M=2、N=4时，存在唯一一个2*4规范幻矩阵，如下：

      1  4  6  7
      8  5  3  2

    当M=2、N=6时，存在唯一一个2*6规范幻矩阵，如下：

      1  3  7  8  9  11
     12 10  6  5  4   2

    上述两个结果是我用电脑对所有可能情形进行筛选后得到的。

当M=3，N=5时，我利用电脑进行筛选，共得到如下39个3*5规范幻矩阵。

（1）
1,2,9,13,15
11,14,5,7,3
12,8,10,4,6
（2）
1,2,9,13,15
12,8,10,7,3
11,14,5,4,6
（3）
1,2,10,13,14
11,15,5,3,6
12,7,9,8,4
（4）
1,2,11,12,14
13,15,5,3,4
10,7,8,9,6
（5）
1,2,11,12,14
15,13,3,5,4
8,9,10,7,6
（6）
1,2,11,12,14
10,15,8,3,4
13,7,5,9,6
（7）
1,2,11,12,14
15,9,3,7,6
8,13,10,5,4
（8）
1,3,7,14,15
13,9,11,2,5
10,12,6,8,4
（9）
1,3,7,14,15
10,12,11,2,5
13,9,6,8,4
（10）
1,3,8,13,15
9,11,12,6,2
14,10,4,5,7
（11）
1,3,9,13,14
11,15,5,7,2
12,6,10,4,8
（12）
1,3,10,11,15
14,13,2,7,4
9,8,12,6,5
（13）
1,3,10,11,15
14,13,2,6,5
9,8,12,7,4
（14）
1,3,11,12,13
14,15,5,2,4
9,6,8,10,7
（15）
1,3,11,12,13
15,14,4,2,5
8,7,9,10,6
（16）
1,4,8,12,15
10,14,11,3,2
13,6,5,9,7
（17）
1,4,8,12,15
14,13,5,2,6
9,7,11,10,3
（18）
1,4,8,12,15
10,14,5,9,2
13,6,11,3,7
（19）
1,4,8,12,15
14,7,11,2,6
9,13,5,10,3
（20）
1,4,9,11,15
13,14,3,8,2
10,6,12,5,7
（21）
1,4,10,12,13
8,14,11,5,2
15,6,3,7,9
（22）
1,5,6,13,15
12,9,14,3,2
11,10,4,8,7
（23）
1,5,6,13,15
11,10,14,3,2
12,9,4,8,7
（24）
1,5,7,12,15
14,8,13,2,3
9,11,4,10,6
（25）
1,5,9,11,14
13,15,3,7,2
10,4,12,6,8
（26）
1,5,9,11,14
15,7,2,10,6
8,12,13,3,4
（27）
1,5,10,11,13
14,15,2,6,3
9,4,12,7,8
（28）
1,5,10,11,13
9,15,2,6,8
14,4,12,7,3
（29）
1,6,8,10,15
12,14,3,9,2
11,4,13,5,7
（30）
1,6,8,10,15
14,7,13,2,4
9,11,3,12,5
（31）
1,6,8,10,15
12,4,13,9,2
11,14,3,5,7
（32）
1,6,8,10,15
9,11,13,2,5
14,7,3,12,4
（33）
1,6,8,12,13
14,15,5,2,4
9,3,11,10,7
（34）
1,6,9,10,14
15,5,11,2,7
8,13,4,12,3
（35）
1,7,8,9,15
12,13,2,10,3
11,4,14,5,6
（36）
1,7,8,9,15
10,11,2,12,5
13,6,14,3,4
（37）
1,7,8,10,14
12,2,13,9,4
11,15,3,5,6
（38）
1,7,9,10,13
15,14,4,2,5
8,3,11,12,6
（39）
1,7,9,10,13
8,14,11,2,5
15,3,4,12,6

    现在，我提出如下公开问题，欢迎大家解答。

问题：对于M*N幻矩阵，到底存在多少个“规范幻矩阵”？
    这个问题，可能和N阶幻方的计数一样，是个很困难的问题。

                             牛国良，写于2003年4月5日。