从神秘和洛书到幻方

数学系李超

1、神秘的洛书

相传在我国远古的仿羲氏时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”；有一只神龟出没于洛水，龟壳上书有一些神出鬼没秘的符号，这就是所谓的《洛书》。仿羲氏知道后，就按照《河图》、《洛图》而绘声绘色制八卦，用以推算历法，预测吉凶等。

在我国很古和典籍《周易》、《尚书》、《论语》中都有关于《河图》、《洛书》和记载。《周易》的系辞篇里是这样记载的：“河出图，洛出书，圣书，则之。”这与上述传说颇相吻合。也许这一记载正是上述传说的来源或记录吧！

我国明朝的程大位也曾说：“数何肇自图书乎，伏羲氏得只以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物。”意思是说：“数起源于什么？它起源于河图、洛书吗？伏羲氏得到它后，用它绘制出八卦 ；大禹得到它后，用客观存在来规划田畴，其客观存在圣贤得到后，用来开发物产。”

那么，河图究竟是一个什么样的图案、洛书究竟是一些什么样的书写符号呢？ 这在《周易》、《论语》这些与很夏天的典籍中都没有记载。直到宋代，朱熹经解《周易》时，曾派他手下的学者蔡元定去四川，用高价才在民间收购到了华山道士搏传出的《太极图》、《河图》、

《略书》等。其中《太极图》与现在流传的太极图相同，而《河图》《洛书》则是由一些圆圈点构成的图形，洛书的形状如图一所示。

公元前一世纪时我国汉代的《大戴礼》一书中的九宫图相合。所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相等于

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15

这样待到的图就叫九宫图。与洛书相应的九宫图形如（图2所示）

四	九	二
三	五	七
八	一	六

2、杨辉的纵横图

我国南宋时的杨辉，在其1275年所著《续古摘奇算法》一书中所载的洛书正是图二。

他送还绘出了一下口快帮助记忆：“戴九履一，左三右七，二为四肩，六八为足（五居中央）”，并给出了如下的造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”（如图三所示）

九

四 二

三 五 七

八 六

一

四 九 二

三 五 七

八 一 六

杨辉还将洛书类比到更多个数的情形。他给出了四四图，五五图，六六图，七七图，六十四图，九九图，百子图，并提出一个新名词，把它们统称为纵横图。对于四四图，他给于了如下的说法：人十六子依次四行排列，光以外四角对换；一换十六，四换十三；后以内四角对换：六换十七，七换十。横直上下斜角皆三十四数（如下图所示）：

一 二 三 四 十六 二 三 十三 十六 二 三 十三

五 六 七 八 五 六 七 八 五 十一 十 八

九 十 十一 十二 九 十 十一 十二 九 七 六 十三

十三 十四 十五 十六 四 十四 十五 一 四 十四 十五 一

（图四）

这里，杨辉提出了一种利用依自然数由小到大的顺序排出的方阵（叫自然方阵）和对换造纵横图方法，给后继者留下了一份宝贵的思想财富。但可惜的是，杨辉只停留在个别纵横图的构造上，没有上升成一般的理论。他所造出的百子图，虽然留一行和，每一列都等于

（1+2+3+…97+98+99+100）=505，

但两对角和再等于505，直到我国清代的张潮（165—？）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。

3、造奇数阶幻方的楼贝法

我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。现在我们一般采用“幻方”这一术语，一般从1到n²这n²这个自然数所排成的几n横行，n纵列的方阵n个数的和（叫行和），每一列n个数的和（叫列和），每一对角线n个数的和（叫对角和）都相等，都等于

Sn=(1+2+3+…n2)=（叫幻和），

则称这一n阶方阵为一个n阶幻方。

西方有籍可查最早出现幻方的是A.，？勤（A Lbrecht Durer）于1514年所作著名版画《忧郁症》中的那个四阶幻方（图四）。这个幻方常常被复制到金属佩戴物上，作为人们用以驱邪除魔，消灾避祸的护身符。据说，即传在第二次世界大战以后，在阿拉伯、印度等地少书中，仍有人佩戴这种护身符。

西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣，他专门派De La Loubere（楼贝）出使邏罗（泰国）（1687-1688），Loubere：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法王。这个方法。ⅰ）在两对简线交点处正下方的第一个位置（即第五行第四列处）填上1. ⅱ）依主对角线方向往下，依次在下一行且下列处填入2和3（即第六行第五列处填2，第七行处填3）ⅲ）由于第七行后再无下一行，此时可以把第一行看成第七行的下一行，于是在单行第一列处填上3以后的数4.iV由行第列后无下一列，此时又将第一列作为第七列的下一列，于是在第二行第一列处填上4以后的数 5.V）再继续依主对角线方向往下，依次在下一行下一列填上6，7（即第三行第二列处填6，第四行第三列处填7）。如果将第七列剪下来，拼到大正方形的左边，构成的正方形，则超填好的这七个数，从上妻下依次为为4，5，6，7，1，2，3，它们刚好位于新正方形的主对角线上。因此，对于原正方形来说，我们也称这七个数被排在第一条，泛主对角线上，但这条泛主对角线被折断了，变成了两段.VI）以下再将后面的七个数：8，9，10，11，12，13，14，依次排在每二条给主对角线上，但要使塌头的8排在1那个数的下一行、前一列处（即第六行第三列处），使1和8位于第一条冷副对角线与副对角线平行，在紧挨着的副对角线的下面。也就是依次在第六行第三行处，第七行第四列处，第一行的第五行处，第二行第六列处，第三行第七列处，第四行第一行处，第五行第二列处填上8，9，10，11，12，13，14,Ⅶ）以下再将后面的七个数：15，16，17，18，19，20，21 依次填写在第三条泛主对角线上，但要使起头的15排在８那个数的下一行前一列处（即每七行第二列处），使1,8,15位于第一条泛对角线上，Ⅷ）仿上，依次将后面的数每七个数组填入第四、五、六、七条冷主对角线上（其中第四条泛主对角线就是主对角线）。

按搂贝法可以造出任意一个奇数阶幻方来，而且造起来很方便，不过这个方法并不是搂贝本人提出来的，而且也没有一般的理论上的证明。

４、欧拉的正交拉丁方

第一个对幻方从理论上进行研究的是数学巨星欧拉（EuLer Leonhard,1707--1783），1779年，他研究36军官问题时，发现幻方与拉丁方法之间存在一定的联系，提出了用两个正交拉丁方合成一个幻方的方法。

36军官问题是普鲁士国王腓特烈大帝在一次阅提出来的，他要求将来自六个不同部队，六种军阶各一名的总共36名军官排成六行、六列，使得每一行、每一行都既有各部队的代表，又有各军阶的代表。

结果，指挥官急的团团转，却无论怎样要求，。后来，他们只得去请教数学家欧拉。

欧拉用六个大写拉丁字母（A，B，C，D，E，F）表示六个不同的部队，六个小写拉丁字母（a,b,c,d,e,f） 表示六种不同的军阶，这样，每一名军官就可以用一对有序拉丁字母对表示了。如（A，a）就表示A部队的军阶是a的那一名军官，于是问题变为将36对有序拉丁字母对排成六行列的方阵，使得每行、每列中，A、B、C、D、E、F、a、b、c、d、e、f中的每个字母都出现一次。这个方阵可以看出是由两个方阵合成的，一个方阵由Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ这六个大写字母各重复出现六次组成，另一方阵由a,b,c,d,e,f这六个小定字母各重复六次组成，在每个方阵的每一行第一列中，每个字母恰出现一次。这种由拉丁字母组成的方阵就叫拉丁方。当然，这是用拉丁字母作记号并非本质的，也可以换成任何其它的记号。一般由n个不同的符号，每符号出现n次所排成的几阶方阵，若在这个方阵的每一行、每一列中，n个符号中的每一wh 都恰出现一次，这样的方阵就叫符号就叫n阶拉方。由两个n阶拉丁方可以这样合成一个由有序符号对组成的方阵，使得每有序符号对的第一个符号和第二个符号分别是第一个和第三个拉丁方中同一位置的符号。后所合成的有序对方阵中的任何两个有序对都不同，则称原来的两个拉丁方正交。这样一来，问幻又变为是否存在六阶正交拉丁幻方的问题了。

欧拉在作了种尝长工之后，断言：六阶正交拉丁方是不存在的。但是，他末能给出严格的证明，他进而想：任何阶数是奇数的２倍的正交拉方都不存在，直到1900年，塔里（Tarrg）才用完全归纳法很吃力地证明了：六阶正交拉丁不存在。

欧拉末能严格证明六阶正交拉丁方的不存在，但都发现了拉丁方和幻方之间的一种联系。他发表了一篇题为《Ｏn A New Tgpe of Magic Square》（《一种新型幻方》）的论文，提出了用正交拉丁方合成幻方的方法，这是在幻方构造理论上的一大贡献。在这篇论文中，他举了如下简单的例子：

２	３	１	＋	０	６	３	＝	２	９	４
１	２	３