全国幻方朋友的信件

我上月到外地出差，今日才回来。你寄来的信件及序言都收到了，在此深表感谢。专辑即将排版付印。

另外在你的信中提到德国人编成的16阶三次方幻方，不知是否由1至256连续自然数构成。如果是，请寄来则可转载。祝你

国外的两个幻方研究表格，一个是能够解阶数为4K，K＝2，10的幻方，和我的幻方公式完全不同，初步判断可能是对称对调法调整得来，整个过程有电子表格函数计算实现的。另一个是对幻方进行取模和取整函数来分析幻方，在文件中有3阶到9阶幻方的例子，这7个幻方是手工输入的.可以将这七个幻方中的每一个幻方剪切到栏目一（column1)的测试幻方区域，并且在最左边测试幻方取模和取整的因素表最左边一列输入相应因素，如5阶的输入5，5 ，1 ，1，1，1，你可以观察它变化，就是看它取模和取整后是不是幻方或完美幻方。

前几天计算花朵数花了不少时间，这两天有点事情，没有研究，昨天一天未上网，今天晚上才上网，看到你的信和数学大世界网页。前两天我构思了一下等幂和的很多问题，初步找到了两三个较好的方案，准备编程计算，如果结果理想等幂和的很多纪录将大大打破，当然还没有得出具体结论，我的方案也有失败的可能。编程是一件头痛的事，万不得已而为之。

幻方研究工具暂不急，今天看到的国外的这两个幻方研究表格，也可以说是一种幻方研究工具，只可惜作者幻方理论水平太差（这一点完全判断得出来），我会搞出高水平的幻方研究工具，一定会大大超越他们。郭先强前几天给我打了一个电话，主要是想证实一下我的成果，当天晚上他在他的网页上公开了他的几个主要成果。对于幻方，高次幻方我全部都可以用简单的公式表示出来，我一直在想取一个适合的名子，也许叫万能幻方公式比较好，因为它只需要改变一个参数的值(就是阶数的值,这是最之极限了）就可以得到任一个不同阶数的幻方或高次幻方，比起现有其他人的解法，我自认为要高明一点。

另花朵数第二十个，经检查只有一个解，前几天我就想通知你，可能是想偷懒，未即时通知你，结果昨天在网上已经公开，

你说的全能实现，我现在已经是这样来研究的，但要成品化程序，让太不会电子表格的人会用这个程序，要求就比较高，编程序有一定困难，只有以后再说。

我昨天给你的信收到了吧，我给郭先强连发二封都拒收了，请你将我的16阶最小的结果转给他，他的结果肯定会我是一样的，他认为两天内可能没人能做出来，其实我要比他早12个小时做出来，我用程序直接找30以内四对两数平方和相等的数，1秒钟内就找到了。

多想有一个幻方研究的实用工具啊！
李文：
   电子表格，其实有很大的用处。只是我未去研究，了解的太少。下面想询问几个问题。
①一个幻方，如何自动分割成两个拉丁方。
②当一个幻方复制在表格中，如何让它全面求和验算，其实我已经看到你这样做了。但我这里是任意阶幻方，而不仅仅是16阶。
因此我们真的希望你将电子表格搞成一种幻方研究的工具，具有下列功能：
①在一个广场上，可设定n阶幻方的“n×n”方阵粘贴，导入幻方。
②自动分割成两个拉丁方，可由自己确定除数n（mod n）。
③自动全面求和，平方和，立方和，四次方和……。
④两个拉丁方自动合成幻方，由自己确定乘数K。
⑤两个拉丁方对应数求积，自动生成双重幻方。
⑥自动显示一组数在幻方中的位置，数组（2，3，9，12）的位置
16 ⑵ ⑶ 13
5 11 10 8
⑼ 7    6 ⑿
4   14  15   1
⑦十进制数字自动互相转化成二进制，三进制，四时制等，原理同① 。
⑧载入第一行（m）第一列（n）数字后，其它数字通过m与n的 q 进制按位加得到。
⑨字母表，数字按字母载入,如a=3，所有相同的字母a自动全部变动成3。
（10）．和为确定的两数，自动连线显示。
   上面的要求不一定全能实现，但它不愧为幻方研究的实用工具。任何自动生成幻方的程序，都只能看到结果,不能用来研究，确实遗憾。
   吴硕辛的MI（q）语言，只要一个小程序即可解决，但谁来研究呢？马步幻方该由我们中国人彻底解决了，原来那个马步幻方对角线不等幻和。
                                  高治源
                                          2001年3月7日

李文先生：您好！

首先再次恭贺您在该领域获得重大突破，
使这座花园更美丽，花儿更多开得更艳。

在看到高教授的文章后，
开始我过于追求“大而全”的境界，
想把包含“循环圈”的情形一并考虑进去，
初步估算计算量很大；
后来发现如果仅考虑您现所定义“花朵数”情形，
其搜索量会剧减，且算法也简单许多。

于是，我知道我犯了一个大错误，
并有可能伤害到您，
在此，再次说声对不起，请原谅。

（因为幻方作品发表本已困难，
现阶段主要靠大家相互讨论交流，
所以，需特别强调交流环境的健康，
即：尊重知识产权问题）

由于我要上班，且有既定的研究项目和课程要进行，
所以一值很忙。
非常高兴、也非常感谢您完成了该项目，
免得我总觉得欠高教授一个情。：）

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高教授：您好！

我的新网站内容有所调整，不知您注意到了没有？
其中，“数学猜想”又增了一个，不知您可否找到反例？

里面所列举的幻方，大多同时满足多种性质，
如果您有更好的结果，在允许的前提下希望能给我寄来一份。

另，刚才，我接到江门的陈先生电话，足足谈了半个多小时，
他在国内国外于“等幂和问题”上都是首屈一指的，
了解该领域的发展和最新资料，
但他在我的网站上看到“负指数等幂和”概念后，
觉得又有了新的研究领域，
他打电话来，将把我的结果转载到他的网站里，
并给我的网站做上链接。

现，我的网站已被 Yahoo 等大型搜索引擎收录。

高教授：你好

16阶三次完美幻方我仍在研究，给你们的公式与例解只是想给大家看一下结果,没考虑你们进行研究的方便性。这也不能算是什么程序，只是我的“电脑手稿”而也。没想到你在用来研究,你的建意很好,今晚我己作了修改,达到你的要求，你可试试。德国人的这组数是我发现的最小的一组数，所以采用了这组数。（到底最小是多少以后再研究）新的数字组合很容易得到，这次给你寄来一组。新的数字可以这样得到：找平方和相等的4对数（这不难），然后添加这8个数的相反数，现在得到16个数了，因为有8个负数，所以每个数加最大的那个数或者再加1，（区别是一个最小数是0，一个最小数是1。）把这16个数按表一的规律输入后，新的16阶三次完美幻方就产生了。重复数字有可能出现，我改了一下公式的表达方式，增加了系数K，K本来是K阶幻方K进制的意思，但广义幻方k再取16就不行了，K可以取最大的那个数，但这样数字太大，可用电脑抽索使数字不重复的K值,选最小的K值比较理想。

李文:

你好,你的16阶三次幻方,我已研究.数字与德国组合的相同.我看到可以同+_一些数,获得新组合.你的公式具体说一下,如何计算,只举一例即可.我发现表2\表3,只要改变16个数字(4*4方阵),其它相同的数字跟着改变.下面的幻方表也可跟着改变啊.说明你的程序很有用的.遗憾的是有些数字不跟着改变,不知为什么?主要在第一\二列上.

如何得到新的数字组合,请研究.

我重新输入了一组数(16个数字,4*4方阵),看到它也是新的16阶三次幻方.只是数字重复的太多,这个问题如何解决呢?

苏茂挺也构成一个16阶三次幻方,到时给你寄来交流.

你的16阶三次幻方公式,能否这样设置:表一的f(x)、F（x）16数一改变,其它表立即反应，生成新的幻方呢？

高治源

2001年3月5日

你好，高老师！
在网上看到你们对本报报道《打工仔解开世界难题？》的关注，非常感谢！
由于当时我们作为记者对这一专业问题难于定论，所以当时就请教了华南师大数学系的一位
教授，这也是代表其自己的看法，想不到这幻方还有如此大的应用！
不过由于离采访时间太久，我们现在已经不能确切为你提供这位打工仔的电话和地址，深表
遗憾！
回复
黄义仲

2001.02.24.17:29:17
关于《打工仔解开世界难题？》一文的不同看法
（不说好难过啊！）
羊城晚报（www.ycwb.com.cn）——
记者丁华　实习生黄义仲：
你们好，你俩在1999-1-28日，发表的文章《打工仔解开世界难题？》一文，今天我在网上看
到了。我认为那位华南师大数学系柳柏濂教授说的不妥，现在有许多的人在研究幻方包括一些
教授和专家，以及一些外国的著名教授和电脑专家。他说“在数学界很少有专家研究，因为已
经没有任何实际科学意义”，这是不对的。实际上，幻方是现代组合数学问题，起源于我们
中国的河图洛书。从古至今，有许许多多的人喜欢它，国内国外，有许许多多的人研究过它。
它的原理极为简单，连小学一年级学生都可以理解，但它蕴含的原理又极为高深，最简单的幻
方——洛书，让那些满腹经纶的学者们都千思百虑，不能彻底解开其中之谜，这种简单中的高
深，几千年来，不知引起多少学者为之倾注心血，苦苦求索，甚至一些大科学家，还从中得到
启发，获取重大的科学成果。当今，随着电子计算机技术的发展，幻方在程序设计、图论、人
工智能、实验设计、组合分析、工艺美术等方面有了广泛的应用，因此，人们对幻方的研究报
以更大的热情。
我们还可以罗列出下列多方面的幻方应用前景（全文请看中国幻方主页：
http://zhghf.home.chinaren.com/）：
一、幻方应用于哲理思想的研究；二、幻方应用于美术设计；三、幻方的美学价值；四、幻
方应用于电脑程序的设计；五、幻方在数学教学中的影响；六、幻方对科学的启迪；七、幻方
应用于科学技术之中；八、幻方在前沿科学中的作用。
美国有一家电脑公司，其称号就是幻方（magic　squares　），并且用幻方原理研究出一种
动画程序L3.这里想着重介绍一下，北方工业大学副校长，博士生导师齐东旭教授的研究成
果，他的书《分形及其计算机生成》中，其中有一节“矩阵的kronecker乘积与幻方”，论述
了幻方已从被认为仅仅是“奇怪的现象”而逐渐开发了它的应用。如果将 m阶幻方A、n阶幻方
B作为矩阵，那么Kronecker乘积AB也是一个幻方。如果在计算机屏幕上设定m×n个正方形
，每个正方形的灰度依序对应m×n矩阵A的元素数值，对应于aij的方块，每分割它为P×q个小
正方形，按aij*B的数值对它着色，这一过程继续下去，可以想象，由幻方得到的无穷嵌套的
结构具有自相似性(外观的或内在的)，可看作是一种全息对应结构。因幻方是一种特殊的数
值矩阵，齐东旭教授发现，以幻方为控制网数据矩阵而生成的Bezier -Bernstein曲面，具有
单向积分不变的特性，而其他熟知的逼近方式，如B样条插值或磨光、lagrange插值等，皆不
具备这一性质。齐东旭教授与他的博士研究生丁玮合写文章《数字图像变换及信息隐藏与伪装
技术》发表在计算机学报上。本文提出“按幻方的图像置乱变换”的技术，它可以将需保密
的图像置乱后，再按幻方的原理复原，这种置乱变换还可以进行多次。笔者认为幻方的分类、计数及构造程序和变换，均可用在信息隐藏技术中，应用前景将十分广阔.
　幻方已应用于“建路”、“爵当曲线”、“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理、格里定理、斯笃克定理，还引出了普生、布鲁汀两氏的电子方程式。幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生，电脑有三个来源，即二进制(八卦)、算盘和幻方。电子科学已把幻方的排列路线看成是一理想的电子回路网图形，我们从台湾黎凯旋的《易数浅谈》中可以看到，从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。台湾电机专家吴隆生创造了64阶方阵仪可用于计算机、测量仪、通讯交换仪以及水电、火力、航空等的管制系统，已获得专利。海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙布局，因为只要各线各方向上的重量处处均衡才不致于倾斜。陕西省政协田健先生写成一书，正在应用幻方研究中医理论，他从幻方的数字结构研究人体病因的数字特征，以及中药的配置。他的研究工作引起了许多医易学家的关注。四川刘辑熙曾为玩具厂、手帕厂、制球厂、制伞厂、瓷厂设计了幻方文化产品，江苏许仲义有“幻方地毯”的设计。北京高学峰有“幻方布”及“幻阵治病”的多项专利。
江西萍乡40岁的何先生，现在广州某公司从事汽车自动化系统开发，其幻方理论可用在电脑程序设计中，也许那一天，他受幻方的启发，找到了汽车自动化系统中，一个电路设计的难题，这并不奇怪，因为日本飞机制造者的第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置相关．我们知道电脑的产生基于自动控制理论，而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想，做出一系列控制理论的。从这里的资料可看出，现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了。幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括性特强，当人们反复深思以后，就有可能对某个科学理论激发出灵感来，从而推动其发展。在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料，说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的。
　　我希望能够与何先生联系，鼓励他继续向他喜欢的科学领域进军，不必要追求第一．但对组合数学的发展有所贡献，也应该感到欣慰了．也希望羊城晚报信息中心的朋友们，对付出汗水的业余科学研究工作的同志多给予鼓励。

　　　　烦请丁华、黄义仲samdy21@sina.com 先生，将江西萍乡40岁的何先生地址告诉我，或让他与我们联系
，mailto:gzyhf@sohu.com或mailto:yagyhf@chinaren.com。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高　　源
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００１年２月２４日

你好，今天在网上看到你的主页好开心。我是一名河北石家庄人。在市报做记者。我从小就对西部的文化无比迷恋。自从上高中时看了路遥的《平凡的世界》，我更是深深地爱上了那美丽的黄土高原。前年的夏天，我曾单人单骑历时一个多月走过了陕北，也曾经过了延安和南泥湾，我也深爱着陕北的民歌，曾在米脂的县城买了好多的磁带，只可惜没有亲耳听到过老乡唱的信天游，我还喜欢陕北说的书，一盘张志功的带子我回来后，听了好多遍，听也听不够，喜欢你的网页，希望和你能成为朋友，我们多多交流。谢谢！
汪汪 2000 7 9汪汪猪 <wangwangpig@163.net>高老师：

我上月到外地出差，今日才回来。你寄来的信件及序言都收到了，在此深表感谢。专辑即将排版付印。

另外在你的信中提到德国人编成的16阶三次方幻方，不知是否由1至256连续自然数构成。如果是，请寄来则可转载。

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