Z₄₉上的接近的七阶二次幻方有且只有86个等价类

潘凤雏^1,2  高治源 ³

(1.中国地质大学，北京，100083;2.西藏地质调查院，拉萨，850000;3.延安教育学院,延安,716000)

摘要  给出Z₄₉上的接近的七阶二次幻方的所有86个等价类的代表．

关键词  接近的七阶二次幻方   同构   等价类 

    1 定义

定义1 称一个 上的n阶矩阵为n阶二次幻方,如果它的元素两两不同且n行、n列及两条主对角线上的n个元素的和、平方和分别等于定值，分别称这两个定值为幻和及二次幻和.

定义2 如果一条线(行、列、对角线)上的n个元素的和等于幻和且平方和等于二次幻和，则称这条线为二次的.

定义3^[2] 两个n阶(二次)幻方称为同构的，如果它们的n行、n列、两条对角线上的元素集合所组成的类（集合）也相同，反之，称为不同构．所有同构的n阶幻方构成一个等价类，其中的每一个都可以看作是该类的代表.

定义4 一个n阶(二次)幻方 称为最小的（代表），如果

（1）当n为偶数是，左对角的元素在两条对角线的2n个元素中是最小的；当n为奇数时，除中心数外，左对角的元素在两条对角线的2n-1个元素中是最小的；

（2） ；

（3）对角线元素除外，第一行的最小元素小于第一列的最小元素.

2 定理

二次幻方的研究历史已有百余年^[1]，并且已经证明， 2至7阶二次幻方不存在^[1].笔者用计算机进一步证实了[1]的关于7阶二次幻方不存在的结论.因此，寻找满足如下条件的7阶幻方（称为接近的七阶二次幻方）

（1）有尽可能多的行为二次的（或者有尽可能多的列为二次的）；

（2）在满足（1）的条件下，有尽可能多的列（或行）为二次的；

（3）在满足（1）和（2）的条件下有尽可能多的对角线为二次的

就成为一个重要的问题.2001年，法国人Christian Boyer找到了第一个这样的幻方；2002年，德国人Walter Trump找到了13个接近的七阶二次幻方，其中一个与Christian的相同；2004年4月，另一个德国人Bogdan Golunski找到了第14个接近的七阶二次幻方．2004年底，作者利用计算机证明了如下两个定理.

    定理1 接近的七阶二次幻方恰有7行、５列或５行、7列和1条对角线为二次的．

  定理2 接近的七阶二次幻方有且只有86个等价类.

根据[2]有

  定理3 每个接近的七阶二次幻方的等价类中有192个同构的幻方.

至此，我们就完全解决了（接近的）七阶二次幻方的存在性或构造问题.

3 程序

略.

4 等价类的最小代表

下面以表格的形式给出86个等价类的最小代表.（见Excel表）

参    考   文   献

[1] Christian Boyer.http://www.multimagie.com.

 [2] 潘凤雏.论幻映射、幻群与幻方.延安教育学院学报,2003,17(4):58~60.

作者简介：潘凤雏（1963-），男，教授级高级工程师，现从事矿床学及组合数学研究

北京临时通讯地址：100083  北京市海淀区学院路29号  中国地质大学B0301班  李海燕  转郑启伟（潘凤雏）收

永久通讯地址：850000  西藏拉萨市北京中路21号  西藏地质调查院 潘凤雏 收

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