九阶广义完美雪花平方幻方

到目前为止，没有人构造成九阶狭义完美平方幻方，看来很可能不存在这种幻方。狭义的无法构造，我们只能在广义幻方上下功夫。本文介绍的是一个广义九阶完美雪花平方幻方，这个幻方还有许多优美的性质，令人拍案称奇。而其巧妙的构造方法，还可以用于构造16阶三次幻方、18阶完美平方幻方、36阶三次幻方、36阶幻方（行列五次）等，真是一种多用途的构造方案。

图2是一个由不大于152的81个自然数组成的九阶完美雪花平方幻方。它的幻和是729，二次幻和是83157。图2还是对角线三次幻方，它的两对角线上诸数之立方和是10641213。

图1是构造这个幻方的起点方阵。它的第4行含有3个二次等幂和数组（1，12，14）、（2，9，16）、（4，6，17）。将第4行的各个数都依次加上99、9、27、0、72、144、117、135、45，就得从上到下每一行的各个数（这些加数都是9的倍数）。对于图1这个起点方阵，采用“下1右3、下3右1”的步法，用数步法就得到图2这个幻方。

103	115	100	105	108	111	116	101	113	6	76	161	123	139	62	105	13	44
13	25	10	15	18	21	26	11	23	108	25	29	9	88	146	126	151	47
31	43	28	33	36	39	44	29	41	129	136	59	111	10	41	12	73	158
4	16	1	6	9	12	17	2	14	17	78	148	134	141	49	116	15	31
76	88	73	78	81	84	89	74	86	101	18	43	2	81	160	119	144	61
148	160	145	150	153	156	161	146	158	131	147	46	113	21	28	14	84	145
121	133	118	123	126	129	134	119	131	4	89	150	121	152	51	103	26	33
139	151	136	141	144	147	152	137	149	115	11	36	16	74	153	133	137	54
49	61	46	51	54	57	62	47	59	118	149	57	100	23	39	1	86	156

图3和图4是两个局部方阵，如果将图3、图4中的数分别用F、G表示，它们与图2幻方（其中的数记作M）的内在联系是

如果将图3与图4都划分成9个相等的正方形，可以看出，它们都有很简单的规律性。两者都由下面3组二次等幂和数组组成：

1	9	17	14	16	6	12	2	4	6	4	17	6	4	17	6	4	17
12	2	4	1	9	17	14	16	6	9	16	2	9	16	2	9	16	2
14	16	6	12	2	4	1	9	17	12	1	14	12	1	14	12	1	14
1	9	17	14	16	6	12	2	4	17	6	4	17	6	4	17	6	4
12	2	4

103	115	100	105	108	111	116	101	113	6	76	161	123	139	62	105	13	44
13	25	10	15	18	21	26	11	23	108	25	29	9	88	146	126	151	47
31	43	28	33	36	39	44	29	41	129	136	59	111	10	41	12	73	158
4	16	1	6	9	12	17	2	14	17	78	148	134	141	49	116	15	31
76	88	73	78	81	84	89	74	86	101	18	43	2	81	160	119	144	61
148	160	145	150	153	156	161	146	158	131	147	46	113	21	28	14	84	145
121	133	118	123	126	129	134	119	131	4	89	150	121	152	51	103	26	33
139	151	136	141	144	147	152	137	149	115	11	36	16	74	153	133	137	54
49	61	46	51	54	57	62	47	59	118	149	57	100	23	39	1	86	156

1	9	17	14	16	6	12	2	4	6	4	17	6	4	17	6	4	17
12	2	4	1	9	17	14	16	6	9	16	2	9	16	2	9	16	2
14	16	6	12	2	4	1	9	17	12	1	14	12	1	14	12	1	14
1	9	17	14	16	6	12	2	4	17	6	4	17	6	4	17	6	4
12	2	4

103	115	100	105	108	111	116	101	113	6	76	161	123	139	62	105	13	44
13	25	10	15	18	21	26	11	23	108	25	29	9	88	146	126	151	47
31	43	28	33	36	39	44	29	41	129	136	59	111	10	41	12	73	158
4	16	1	6	9	12	17	2	14	17	78	148	134	141	49	116	15	31
76	88	73	78	81	84	89	74	86	101	18	43	2	81	160	119	144	61
148	160	145	150	153	156	161	146	158	131	147	46	113	21	28	14	84	145
121	133	118	123	126	129	134	119	131	4	89	150	121	152	51	103	26	33
139	151	136	141	144	147	152	137	149	115	11	36	16	74	153	133	137	54
49	61	46	51	54	57	62	47	59	118	149	57	100	23	39	1	86	156

1	9	17	14	16	6	12	2	4	6	4	17	6	4	17	6	4	17
12	2	4	1	9	17	14	16	6	9	16	2	9	16	2	9	16	2
14	16	6	12	2	4	1	9	17	12	1	14	12	1	14	12	1	14
1	9	17	14	16	6	12	2	4	17	6	4	17	6	4	17	6	4
12	2	4

103	115	100	105	108	111	116	101	113	6	76	161	123	139	62	105	13	44
13	25	10	15	18	21	26	11	23	108	25	29	9	88	146	126	151	47
31	43	28	33	36	39	44	29	41	129	136	59	111	10	41	12	73	158
4	16	1	6	9	12	17	2	14	17	78	148	134	141	49	116	15	31
76	88	73	78	81	84	89	74	86	101	18	43	2	81	160	119	144	61
148	160	145	150	153	156	161	146	158	131	147	46	113	21	28	14	84	145
121	133	118	123	126	129	134	119	131	4	89	150	121	152	51	103	26	33
139	151	136	141	144	147	152	137	149	115	11	36	16	74	153	133	137	54
49	61	46	51	54	57	62	47	59	118	149	57	100	23	39	1	86	156

1	9	17	14	16	6	12	2	4	6	4	17	6	4	17	6	4	17
12	2	4	1	9	17	14	16	6	9	16	2	9	16	2	9	16	2
14	16	6	12	2	4	1	9	17	12	1	14	12	1	14	12	1	14
1	9	17	14	16	6	12	2	4	17	6	4	17	6	4	17	6	4
12	2	4