平方幻方与双重幻方的构造

幻方，又称纵横图。学术界一般公认幻方于公元前2200年以前起源于我国。传说夏禹时代洛水（黄河的支流）里浮出一只神龟。背上有45个圆点，这些圆点组成9个图形，后人据各个图形圆点的数量，认为是代表9个数。整个图形称为“洛书”，又称“九宫”（即三阶幻方）。

三阶幻方（图1）是世界上最小的幻方，她开创了“幻方世界”的先河组合数学将其奉为“鼻祖”，炎黄子孙系引以为荣。图1

1 “和幻方”——把n²个互不相同的自然数排成n行、n列，使每一行、每一列及两条对角线上n个数之和都等于定值的方阵。这个定值称为“幻和”记作S_n。图1就是和幻方，其幻和S₃=15已证明了存在n≥3阶和幻方。

2 “平方幻方”——不仅具有和幻方的性质，而且它们（每一行、每一列及两条对角线上，下同）的平方和也等于另外的定值的方阵。这个定值称为“平方幻方”，记作SS_n。

法国人里利1901年造出这种幻方。图2是他造出的八阶平方幻方，其S₈=260，SS₈=11180 （以

3 双重幻方——不仅具有和幻方的性质，而且它们的连乘积也等于另一个定值的方阵。这个定值称为“幻积”，记作л_n。

霍纳（W·W·Horner）在1955年与1956年发表了八阶与九阶双重幻方（图3与图4）。

和幻方是幻方世界里的大家族，已造出多种和幻方。例如雪花幻方、全对称幻方、超级幻方、富兰克林型幻方、素数幻方、奇偶分居幻方、易位幻方、勾股弦幻方组、多功能组合幻方、……，它们各具特色，待另叙。

平方幻方并非任意阶次都能造出来。目前，仅造出2^m（m≥3）阶及(2k+1)²阶（k=1，2，……）平方幻方。其它阶是否存在呢？还是个迷。

10	51	63	114	13	100	88	161		2	126	117	99	17	259	40	100
25	52	184	77	34	15	171	42		37	119	200	20

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10	51	63	114	13	100	88	161		2	126	117	99	17	259	40	100
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