素　数　幻　方

张道鑫

一．    素数

众所周知，只能被1和本身整除的自然数叫素数，用P表示。它是编制素数幻方的基本元素。素数在自然数中的分布虽然离散杂乱，缺少规律，但在其组成各种类型数列的时候，却有章可循。

除去2与5外，其它所有素数的个位数必是1或3、7、9。因而，由个位数不尽相同的素数组成的幻方，称为异尾素数幻方；由个位数相同的素数组成的幻方，称为同尾素数幻方。　

二、等差数列中的素数

等差数列中，相邻两项的差叫公差，用d表示，显然，d　€　N。

当　d ≠ 10 N时，形成的等差数列为异尾数列,即个位数不同的素数.它们存在某些确定公差d ≠ 10 N的由3－5个素数组成的等差数列，如：

d =  6时, 有 5  11  17  23  29 ;  7  13  19 ;  31  37  43 ;  41  47  53  59 ;

d = 12时，有5　17  29  41  53 ;  7  19  31  43 ;  47  59  71  83 ; 89  101  113

d = 18时，有5  23  41  59 ;  11  29  47 ; 43  61  79  97 ;  53  71  89  107

d = 24时，有5  29  53 ;  13  37  61 ; 59  83  107  131 ; 79  103  127  151

d = 36时，有7  43  79 ;  11  47  83 ; 31  67  103  139 ;  37  73  109

 当d ＝10 N时，形成的等差数列为同尾数列，即个位数相同的素数.它们也存在某些确定公差d ＝10 N的由3个或3个以上个素数组成的等差数列，如：

d =  30时，有 11  41  71  101  131 ;  13  43  73  103 ;  7  37  67  97  127  157　

　　　　　    359　389　419　449  479　509

d =  60时，有 11　71　131　191　251　311 ;  43  103  163  23  283 ;  47  107  167  227 ;  19  79  139  199　

d =  90时，有 61  151  241  331  421 ;  13  103  193  283  373  463 ;

17  107  197 ;  19  109  199 ;

d = 120时， 有281  401  521  641  761  881 ;  73  193  313  433 ;

  37  157  277  397 ;  29  149  269  389  509

d = 210时，有801  1091  1301  1511  1721  1931  2141  2351 ;

1453       1663  1863  2083  2293  2503  2713 ;

47  257  467  677  887  1097  1307 ;

199       409  619  829  1039  1249  1459  1669  1879  2089

d = 2310时， 有71  2381  4691  7001  9311  11621  13931 ;

3823    6133  8443  10753  13063  15373  17683  19993  22303 ;

5557       7867  10777  12487  14797  07107  19417  21727 ;

1019       3329  5639  7949  10259  12569  14879  17189  

三、 数列

按一定次序排列的一列数叫做数列，前举各例均为单列等差数列。编制一个n阶幻方需要n个数列。现将编制素数幻方的常用数列分述如下：

1.相似等差数列

各由n个素数组成且有相同公差　d（d　€　N　）的两个数列，叫做相似等差数列，上页d＝6时的各例都是相似等差数列。

2.不相似等差数列

两个公差不相等的数列，称为不相似等差数列。如　n＝4，d₁＝30，d₂＝60的不相似等差素数数列：11　41　71　101　；　151　181　211　241　；与137　197　257　317　；　277　337　397　457　。若1、2行的行距h（h　€　N　）与3、4行的行距h（h　€　N　）相等，当h＝140时，可以编制4阶素数幻方。

3.同形不等差数列

各由n个数组成且相邻两数公差分别为d₃ ,d₂ ,d₃……(d₃≠ d₂≠ d₃ ≠… )的 n个数列，叫做同形不等差数列。构造素数幻方时，它们是使用最为广泛的一种数列组，如：

　　　　　　　  　　　5　  7　 13 　17 　83

　　　　　　　　　 　29 　31 　37 　41　107

　　　　　　　　　 　59 　61 　67 　71　137

　　　　　　　　　　101　103　109　113　179

　　　　　　　　　　269　271　277　281　347　

这5个数列中，相邻两数之差依次为2　6　4　66。以d＝2、6、4、66表示（下同）。不论其行距如何，均可编制成5阶完美素数幻方。

4．同形不等差对称数列

同形不等差对称数列是同形不等差数列的一个特例。如n＝4时，有

　　　　　　　　　　 31   41   61   71

　　　　　　　　　　241　251　271　281

                     97  107  127  137

                    307  317  337  347

这4个数列的公差依次为10、20、10，可以编制成4阶素数幻方。

5．两两行距相等的数列

两两行距相等的数列可分为两两行距相等的相似等差数列和两两行距相等的同形不等差对称数列。当n＝4时，这种数列可编制出4阶完美幻方。

6．不相似不等差对称数列

这是一种不常见的数列，有助于编制一些特殊的幻方，如：

　　　　　　　　　  7   17   37   47

　　　　　　　　　 97  107  127  137

　　　　　　　　　227　257　277　307

　　　　　　　　　317　347　367　397

前两数列的 d₁＝10、20、10；后两数列的d₂＝30、20、30且h＝90。这种数列只有用特殊办法，才能编制成4阶同尾素数幻方。

四、 幻方

从自然数中寻求的素数，经公差确定成具有某种特性的数列，再采取相应的布数技巧，即可构成素数幻方。当前，制作幻方的技巧可谓百花争艳，各显神通。而制作素数幻方的常用方法有模式法、镶框法、跳步法和正交法，将在后文中具体分述。

由n²个不同素数编制的n行、n列与两条对角线上n个素数之和均相等的n阶方阵，叫做n阶素数幻方。

后文涉及的平面幻方，无特别说明时，均指素数幻方。