妙趣横生的3阶幻方

幻方著作，大多是从我国公元前23世纪的“洛书”讲起，如下图所示，这洛书记载的九宫图确实是不朽之著，永恒之作。用最小的9个连续自然数构造的九宫图，不仅阶数最低，数字最少，而且结构严谨，典型独特，内容丰富。研究素数幻方，自然也应从最基础、最古老的3阶幻方做起。

设a₁ ,a₂ ,a₃ ; b₁ ,b₂ ,b₃ ; c₁, c₂ ,c₃为素数组成且具有相同公差d(d € N)的3个等差数列，若行距h = c_i –b_i =b_i –a_i，则这9个素数可编制与洛书同型的3阶幻方。如图1－1所示：

　　　　4　　9　　2 b₁ c₃ a₂

　　　　　　3　　5　　7 a₃ b₂ c₁

　　　　　　8　　1　　6 c₂a₁ b₃

　　　洛　　书　　　　　　　　　　图　1－1

无论怎样翻转或镜射，3阶幻方仅此一型，且幻和S＝3b_2　。洛书虽然是最古老的唯一图形，但在素数领域里，可演释出丰富多彩的变式。

下面是用较小素数组成的4组等差数列：

　d＝12　　　　　　d＝12　　　　　　 d＝30　　　　　　d＝90

　 h＝42　　　　　　h＝30　　　　　　h＝36　　　　　　h＝36　

5 17 19 29 41 53 7 37 67 11 101 191

47　 59 71 59 71 83 43 73 10 47 137 227

89　101　113　　　89　101　113　　　79　109　139　　83　173　263

按图1－1模式将上列各数填入各自3阶方阵的对应位置，就构成幻和分别为

177,213,219,411的3阶幻方。　

47	113	17	59	113	41	43	139	37	47	263	101
29	59	89	53	71	89	67	73	79	191	137	83
101	5	71	101	29	83	109	7	103	173	11	227

S₃＝177　　　　　　　S₃＝213　　　　　　　S₃＝219　　　　　　　S₃＝411

　　　　　　　　　　　　　　　图　1－2

编制同尾素数幻方比编制同阶的异尾幻方要困难得多。首先，要在素数中选取个位数相同的素数，按d＝10n　的公差组成等差数列，然后，选择具有相同行距h值的3个等差数列，再编制成同尾素数幻方。

图1－3是幻和分别为843,1929,921,1077的3阶同尾素数幻方。

d＝180　　　　　d＝ 30　　　　　　　 d＝ 30　　　　 d＝ 90　

h＝ 30　　 h＝450　　 h＝270　　 h＝210

101	491	251	613	1123	193	277	607	37	269	659	149
431	281	131	223	643	1063	67	307	547	239	359	479
311	71	461	1093	163	673	577	7	337	569	59	449

S₃＝843　　　　　　S₃＝1929　　　　　　　S₃＝921　　　　　　S₃＝1077

　　　　　　　　　　　　　　　图　1－3

一个3阶幻方的各个数与另一个3阶幻方对应位置上的各个数均存在同一差值k(k €2N)时，称这两个3阶幻方为姐妹幻方或幻方对。设一个3阶幻方的元素为素数p，另一个3阶幻方的元素为p+k。图1－4左是d＝2310，h＝750的S＝10617的3阶同尾幻方，若各数加上k＝8，则成S＝10641的3阶同尾幻方，如图1－4右所示。即为一对p与p+8的3阶幻方。

1229	6599	2789	1237	6607	2797
5099	3539	1979	5107	3547	1987
4289	479	5849	4297	487	5857

S₃＝10617 　S₃＝10641

图1－4

这类幻方对大量存在。图1－5是和为471、723、807、849的4例异尾幻方对（p+k图样略，下同）:

d＝120　 d＝ 30　　 d＝ 42　　d＝ 90

h ＝ 6　　　　h＝168　　　　h＝120　　　　　h＝174

37	283	151	211	439	73	227	431	149	193	547	109
271	157	43	103	241	379	191	269	347	199	283	367
163	31	277	409	43	271	389	107	311	457	19	373

P+1330　　　　　　　　p+1828　　　　　　　　p+252　　　　　　　　p+820

图1－5

图1－6是和为7233、11409、8661、1797的4例同尾幻方对：

d＝2310　　 d＝2310　　 d＝2310 　d＝120

h ＝ 30　　　　h＝1470　　　h＝ 30　　　　h＝330

101	4751	2381	1493	7583	2333	577	5227	2857	479	1049	269
4691	2411	131	4643	3803	2963	5167	2887	607	389	599	809
2441	71	4721	5273	23	6113	2917	547	5197	929	149	719

P+476　　　　　　 p+60　　　　　　　 p+2766　　　　　　p+2382

图1－6

一个幻方的各数p₁加上k₁( k₁ €2N )等于另一个幻方对应位置上的各数p₂，若第二个幻方的各数p₂加上k₂( k₂ €2N )等于第三个幻方对应位置上的各数p₃，我们把这三个幻方叫做幻方三枝莲，或称幻方仨。

图1－7是d＝120,h＝42,k₁＝308,k₂＝22的幻方三枝莲：

71	353	149	379	661	457	401	683	479
269	191	113	577	499	421	599	521	443
233	29	311

47	113	17	59	113	41	43	139	37	47	263	101
29	59	89	53	71	89	67	73	79	191	137	83
101	5	71	101	29	83	109	7	103	173	11	227

37	283	151	211	439	73	227	431	149	193	547	109
271	157	43	103	241	379	191	269	347	199	283	367
163	31	277	409	43	271	389	107	311	457	19	373

71	353	149	379	661	457	401	683	479
269	191	113	577	499	421	599	521	443
233	29	311

47	113	17	59	113	41	43	139	37	47	263	101
29	59	89	53	71	89	67	73	79	191	137	83
101	5	71	101	29	83	109	7	103	173	11	227

37	283	151	211	439	73	227	431	149	193	547	109
271	157	43	103	241	379	191	269	347	199	283	367
163	31	277	409	43	271	389	107	311	457	19	373

71	353	149	379	661	457	401	683	479
269	191	113	577	499	421	599	521	443
233	29	311

47	113	17	59	113	41	43	139	37	47	263	101
29	59	89	53	71	89	67	73	79	191	137	83
101	5	71	101	29	83	109	7	103	173	11	227

37	283	151	211	439	73	227	431	149	193	547	109
271	157	43	103	241	379	191	269	347	199	283	367
163	31	277	409	43	271	389	107	311	457	19	373

71	353	149	379	661	457	401	683	479
269	191	113	577	499	421	599	521	443
233	29	311