美不胜收的4阶幻方

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编制4阶幻方比编制3阶幻方要容易得多，其方法多种多样，制作的4阶幻方更是多彩多姿。仅用最小的16个自然数构造的4阶幻方就有880型。怎样将具有特殊性的素数进行优化组合，调理成具有适用性的数列，适用于编制自然数4阶幻方的技巧，达到编制4阶素数幻方的目的。因此，选择什么样的素数，编排成什么样的数列，采用什么样的构造技巧，均至关重要。现以所用数列为序分述于后。　

4 用同形不等差对称数列构造

由4个素数组成公差为d_1，d_2，d₃ 的同形不等数列，若d₁＝d₃，则该类数列称为同型不等差对称数列，是同型不等差数列的一个特例。

首先，寻求由4个素数组成的同型不等差对称数列：

d＝ 30 60 　30　　d＝10 　50 　10 　d＝10 　20　 10 　　d＝10 　110 　10

11 　41　101　131　13 　23　 73 　83　　7 　17 　37 　47 19 　29 　139 　149

151　181　241　271　43 　53　103　113 97　107　127　137　229　239 　349　 359

401　431　491　521　163　173　223　233　307　317　337　347 379　389　 499 　509　

541　571　631　661　373　383　433　443 547　557　577　587　919　929　1039　1049

然后，按图2－7模式将上列各数填入各自4×4方阵的对应位置，得幻和分别为1344 732　1038　1806的4阶同尾幻方，如图2－10：

11	181	491	661	13	53	223	443	7	107	337	587	19	239	499	1049
521	631	41	151	233	433	23	43	347	577	17	97	509	1039	29	229
571	401	271	101	383	163	113	73	557	307	137	37	929	379	359	139
241	131	541	431	103	83	373	173	127	47	547	317	349	149	919	389

图2－10

5 用两两行距相等的数列构造

设A_1，A_2，A_3，A_4；B_1，B_2，B_3，B_4；C_1，C_2，C_3，C_4；D_1，D_2，D_3，D₄是两两行距相等的相似等差数列或是同型不等差对称数列，即

d₁＝d₂＝d₃ 　或　d₁＝d₃≠d₂

当D_i－C_i＝B_i－A_i＝H时，该4个数列可编制出3种模式的完美幻方，如图2－11：

A₁

B₄

C₂

D₃

A₁

B₄

C₃

D₂

A₁

B₄

D₁

C₄

D₁

A₃

B₂

C₄

D₁

A₂

B₃

D₂

C₃

A₂

B₃

A₂

D₄

C₁

B₂

A₃

D₄

C₁

A₄

B₁

D₄

C₁

D₂

C₃

B₁

A₄

D₃

C₂

B₁

A₄

D₃

C₂

A₃

B₂

图2－11

先讨论d₁＝d₂＝d₃的情形

d＝ 12　　　　　d＝ 30 　　　d＝60 　

H＝30　　　　　　　H＝140　　　　　　　　　H＝70

　　 17 　29 　41 53　　　11 　41　71 　101　　　43 　103　 163　 223

47 　59 　71 　83　　　151　181　211　241　　　113　 173　 233 　293

227　239　251　263　　　401　431　461　491　　　1033　1093　1153　1213

257　269　281　293　　　541　571　601　631　　 1103　1163　1223　1283　

按图2－11模式将上列各数分别填入各自4×4方阵的对应位置，得幻和为620　

1284 2652 的4阶完美幻方，如图2－12：

17	83	239	281	11	241	461	571	43	293	1103	1213
263	257	41	59	491	541	41	211	1163	1153	103	233
71	29	293	227	181	71	631	401	223	113	1283	1033
269	251	47	53	601	431	151	101	1223	1093	163	173

图2－12

再讨论d₁＝d₃≠d₂的情形

　 d＝20　10　20　　　d＝ 20　 10 　20 　　d ＝10 　200　 10 　

H＝6　　　　　　　H＝300　　　　　　　　H＝120

11　31　41　 61　　　　17 　37　 47 　67　　　　　19 　29 　229 　239

17　37　47　 67　　　　317　337　347　367　　　　139 　149 　349　 359

53　73　83　103　　　557　577　587　607　　　　1279　1289　1489　1499　

59　79　89　109　　　　857　877　887　907　　　　1399　1409　1609　1619　

按图2－11模式将上列各数分别填入各自4×4方阵的对应位置，得幻和为240　1848 3276 的4阶完美幻方，如图2－13：

11	67	73	89			17	367	587	877			19	359	1399	1499
103	59	41	37			607	857	37	347