美不胜收的4阶幻方

编制4阶幻方比编制3阶幻方要容易得多，其方法多种多样，制作的4阶幻方更是多彩多姿。仅用最小的16个自然数构造的4阶幻方就有880型。怎样将具有特殊性的素数进行优化组合，调理成具有适用性的数列，适用于编制自然数4阶幻方的技巧，达到编制4阶素数幻方的目的。因此，选择什么样的素数，编排成什么样的数列，采用什么样的构造技巧，均至关重要。现以所用数列为序分述于后

七、4阶幻方对

一个4阶幻方的各数p加上k( k∈2 N )后,得一新4阶幻方p+k.因此，我们称：对应位置各数均存在同一差值的两个幻方叫做幻方对。

用差为 k( k∈2 N )的互补数4²对，以和p+k分别组成4个同形数列，按同一4阶模式将各数填入各自4×4方阵的对应位置，则得一组4阶幻方对。

取d＝210,k＝24的相似等差数列：

103 313 523 733 127 337 547 757

2003 2213 2423 2633 2027 2237 2447 2657

5273 5483 5693 5903 5297 5507 5717 5927

14423 14633 14843 15053 14447 14657 14867 15077

按图2－1模式将上列各数填入各自4×4方阵的对应位置，则成幻和分别为23062

23158 的4阶幻方对p与p+24型，如图2－16：

2423	5903	103	14633	2447	5927	127	14657
313	14423	2633	5693	337	14447	2657	5717
15053	523	5483	2003	15077	547	5507	2027
5273	2213	14843	733	5297	2237	14867	757

图 2 － 16

下列由素数组编的非等差数列：

d＝210　 660　 210　　d ＝ 60　 780　 60　　 d ＝ 420 　240　 5460　

13 223 883 1093 37 97 877 937 79 499 739 6199

613 823 1483 1693 67 127 907 967 1579 1999 2239 7699

2083 2293 2953 3163 11257 11317 12097 12157 2659 3079 3319 8779

27733 27943 28603 2881314887 14947 15727 15787 15259 15679 15919 21379

按图2－7模式将上列各数填入各自4×4方阵的对应位置，得幻和分别为32602 28048　26776 的4阶同尾幻方，如图2－17：

13	27943	1483	3163	37	14947	907	12157	79	15679	2239	8779
2953	1693	27733	223	12097	967	14887	97	3319	7699	15259	499
28813	883	2293	613	15787	877	11317	67	21379	739	3079	1579
823	2083	1093	28603	127	11257	937	15727	1999	2659	6199	15919

图 2 － 17

将这3个幻方的各数均加上4，又各得一新的4阶同尾幻方，均为p+4型幻方对。

图2－18是幻和分别为9594　18532　3918的4阶同尾幻方。

41	1321	2371	5861	263	2083	6353	9833	67	1987	587	1277
5821	2411	131	1231	9623	6563	1693	653	1217	647	277	1777
191	61	6991	2351	1993	353	9923	6263	367	97	2897	557
3541	5801	101	151	6653	9533	563	1783	2267	1187	157	307

图 2 － 18

将这3个幻方的各数均加上6，又各得一新的4阶同尾幻方，均为p+6型幻方对。

图2－19是幻和分别为23594　24722　9806的4阶同尾幻方。

71	11321	4751	7451	683	2843	6653	14543	149	5399	719	3539
7151	5051	2711	8681	3623	17573	1283	2243	1559	2699	5189	359
3041	101	15731	4721	14843	3323	2543	4013	7499	479	1439	389
13331	7121	401	2741	5573	983	14243	3923	599	1229	2459	5519

图 2 － 19

将这3个幻方的各数均加上8，又各得一新的4阶同尾幻方，均为p+8型幻方对。4阶幻方对大量存在，限于篇幅，仅选较小k值的4例。

八、4阶幻方三枝莲

编制4阶幻方三枝莲的程序大致是：

1．所取同形数列，一般是非等差数列，即每个数列具有同形的公差，如

d＝90,90,1050；

2．每4个数列成为一自然序方，必须使其具有同形的行距，如H＝174,112,2774：

193 283 373 1423 2503 2593 2683 3733 4813 4903 4993 6043

367 457 547 1597 2677 2767 2857 3907 4987 5077 5167 6217

479 569 659 1709 2789 2879 2969 4019 5099 5189 5279 6329

3253 3343 3433 4483 5563 5653 5743 6793 7873 7963 8053 9103

3．按图2－7模式将上列各数填入各自4×4方阵的对应位置，得幻和分别为5792 15032　24272 的4阶幻方，构成P，P₁＝P+2310，P₂＝P₁+2310的4阶幻方三枝莲，如图2－20：

193

457

659

4483