天生完美的素数阶幻方

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2,3，5,7，、、、等都是素数，在阶数为素数的幻方中，2阶是不存在的，3阶幻方我们在前面己领略了它的风采。现以5、7阶幻方为例，讨论阶数为素数的素数幻方的制作。

以7阶自然方阵为例，用大马步法编制7阶幻方的过程如下：

21	47	24	1	34	11	37
22	6	32	9	42	19	45
30	14	40	17	43	27	4
38	15	48	25	2	35	12
46	23	7	33	10	36	20
5	31	8	41	18	44	28	5
13	39	16	49	26	3	29

	6		9
						4

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图　3－1

1．7×7空格方阵（图3－1）的右边和底边分别加上1列和3行空格，在第一行的正中格填数1；

2．按大马步法，即横一格、竖三格地走，从1走到2，从2走到3；

3．按横一格、竖三格地从3走，4在方阵的第七列外下三格，将4平移到方阵内同列的第三行位置；

4．按横一格、竖三格地从4走,5在方阵的第六行的右侧外一列位置，将5平移到方阵内同行的第一列位置；

5．仿前，填上6、7；

6．在7的同列下一行位置填8；然后仿2－7的填法，依次填上9－14；

7．在14的同列下一行位置填15，仿前的填法，依次填上16－21；

8．在21的同列下一行位置填22，。。。。。。直至将自然方阵中的49个数既不遗漏，也不重复地填完，即得由1－49个连续自然数编排的幻方，

上述编制的7阶幻方是完美幻方。用这种横一竖三的大马步法编制的所有素数P阶幻方，都是完美幻方。

设A_1，A_2，A_3，A_4，A_5；B_1，B_2，B_3，B_4，B_5；C_1，C_2，C_3，C_4，C_5；D_1，D_2，D_3，D_4，D_5　；E_1，E_2，E_3，E_4，E₅是5个相似等差数列或同形不等差数列，按大马步法将各元素依次填入5×5方阵的所在位置，即得5阶完美幻方，如图3－2：

提示：跳格的大马步法的起步格，可以是首行的任一格，也可以是某素数阶方阵的任一格。

取同形不等差数列：　　　　　

5 7　 47 　73　157

11 　13　 53 　79　163

29 　31　 71 　97　181

41 　43　 83　109　193

59 　61　101　127　211

将数列的各数按图3－2模式填入5×5方阵的对应位置，得幻和为409的5阶完美幻方，如图3－3。

B₅	D₃	A₁	C₄	E₂	163	83	5	97	61
C₁	E₄	B₂	D₅	A₃	29	127	13	193	47
D₂	A₅	C₃	E₁	B₄	43	157	71	59	79
E₃	B₁	D₄	A₂	C₅	101	11	109	7	181
A₄	C₂	E₅	B₃	D₁	73	31	211	53	41

图　3－2 图　3－3

运用相似等差数列是编制幻方采用的简单数列形式，也是编制幻方的有效途径。现拟定4组各5个的相似等差数列如下：

d＝30　　　　　　　　　　　　 d＝90

11 41 71 101 131 13 103 193 283 373

151 181 211 241 271 83 173 263 353 443

401 431 461 491 521 503 593 683 773 863

　　　　　541　 571 601 631 661 1013 1103 1193 1283 1373

2221　2251　2281　2311　2341　　　　　1973　2063　2153　2243　2333

d＝30 d＝120

7 37 67 97 127 29 149 269 389 509

107 137 167 197 227 239 359 479 599 719

277 307 337 367 397 379 499 619 739 859

557 587 617 647 677 2339 2459 2579 2699 2819

877 907 937 967 997 2969 3089 3209 3329 3449

将以上数列各数按图3－2模式填入各自5×5方阵的对应位置，得幻和分别为3625　4485　2125　7155　的5阶同尾完美幻方，如图3－4。

271	601	11	491	2251	443	1193	13	773	2063
401	2311	181	661	71	503	2243	173	1373	193
571	131	461	2221	241	1103	373	683	1973	353
2281	151	631	41	521	2153	83	1283	103	863
101	431	2341	211	541	283	593	2333	263	1013

	227	617	7	367	907				719	2579	29	739	3089
	277	967	137	677	67

21	47	24	1	34	11	37
22	6	32	9	42	19	45
30	14	40	17	43	27	4
38	15	48	25	2	35	12
46	23	7	33	10	36	20
5	31	8	41	18	44	28	5
13	39	16	49	26	3	29

	6		9
						4

21	47	24	1	34	11	37
22	6	32	9	42	19	45
30	14	40	17	43	27	4
38	15	48	25	2	35	12
46	23	7	33	10	36	20
5	31	8	41	18	44	28	5
13	39	16	49	26	3	29

	6		9
						4

21	47	24	1	34	11	37
22	6	32	9	42	19	45
30	14	40	17	43	27	4
38	15	48	25	2	35	12
46	23	7	33	10	36	20
5	31	8	41	18	44	28	5
13	39	16	49	26	3	29

	6		9
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