对号入座的正交幻方 下一页

一、8阶素数幻方

施学良先生在其名著《智力王国－幻方与魔数阵》中指出：“如果两个拉丁方阵的各行、各列和两条对角线都具有魔和的特性显然可合成幻方。”并说：“这种具有魔和性质的方阵称为魔和方阵，不具有魔和性质的方阵称为非魔和方阵。”本文旨在以制作的魔和方阵为模式，编制8、9阶素数幻方。　　　　　　　

以1－8个最小的连续自然数编排成各行、各列和两条主对角线数字互不相同的8阶魔和方阵，记作①，如图5－1。

3	7	8	4	6	2	1	5
6	2	1	5	3	7	8	4
2	6	5	1	7	3	4	8
7	3	4	8	2	6	5	1
5	1	2	6	4	8	7	3
4	8	7	3	5	1	2	6
8	4	3	7	1	5	6	2
1	5	6	2	8	4	3	7

图5－1

将①逆转90º,180º,270º后的图形分别记作②，③，④；以①的左主对角元素为轴对称互换其它元素而得的翻转图形，记作⑤，再将⑤逆转90º,180º,270º后所得的图形，分别记作⑥，⑦，⑧。显然，这8个图形均为8阶魔和方阵。

从上述8个魔和方阵中选取两个互为正交的魔和方阵，迭合并置成一个正交魔和方阵。如由③、④迭合而成的8阶魔和方阵，如图5－2。

7·1	3·8	4·4	8·5	2·7	6·2	5·6	1·3
2·5	6·4	5·8	1·1	7·3	3·6	4·7	8·7
6·6	2·3	1·7	5·2	3·4	7·5	8·1	4·8
3·2	7·7	8·3	4·6	6·8	2·1	1·5	5·4
1·8	5·1	6·5	2·4	8·2	4·7	3·3	7·6
8·4	4·5	3·1	7·8	1·6	5·3	6·7	2·2
4·3	8·6	7·2	3·7	5·5	1·4	2·8	6·1
5·7	1·2	2·6	6·3	4·1	8·8	7·4	3·5

图5－2

不难发现，如果抹去数组间的符号，这就是一个S=396的幻方。

编排由8个素数组成的相似等差数列或同形不等差数列，并置于直角坐标系内，即可将坐标系内的任一素数，按其所在坐标，在8阶正交魔和方阵的指定位置对号入座，编成8阶素数幻方。

例如，从素数中选取d＝210，h＝130的4个素数一行的8对相似等差数列，依数值大小编排成8个同形不等差数列，并置于坐标系内，如图5－3。　

0	1	2	3	4	5	6	7	8	y
1	103	233	313	443	523	653	733	863
2	127	257	337	467	547	677	757	887
3	223	353	433	563	643	773	853	983
4	1873	2003	2083	2213	2293	2423	2503	2633
5	2137	2267	2347	2477	2557	2687	2767	2897
6	3733	3863	3943	4073	4153	4283	4363	4493
7	4549	4679	4759	4889	4969	5099	5179	5309
8	6361	6491	6571	6701	6781	6911	6991	7121

↓

X 图5－3

将图5－3中的各数依其坐标，按图5－2的正交魔和方阵的数组所示（X，Y）填入

8×8方阵的所在位置，得S＝22146的8阶素数幻方，如图5－4。

4549	983	2213	6781	757	3863	2687	313
547	4073	2897	103	4759	773	2003	6991
4283	337	733	2267	563	4969	6361	2633
353	5179	6571	2423	4493	127	523	2477
863	2137	4153	467	6491	2503	433	5099
6701	2293	223	5309	653	2347	4363	257
2083	6911	4679	853	2557	443	887	3733
2767	233	677	3943	1873	7121	4889	643

图5－4

应当提及的是，并非由图5－1及其转变的8个魔和方阵中，任意两个魔和方阵都可以迭合成正交魔和方阵的。只有当迭合并置的方阵，既没有重复数组，也没有遗漏数组时，才能作为对号入座的正交魔和方阵，用以制作8阶素数幻方，如图5－5。