郭靖和黄蓉误入桃花阵
遇见了一个幻方问题
话说当年郭靖和黄蓉误入桃花阵，遇见了正在头疼的英姑。她正在解算一个数学问题：如何把1-9这几个数填在一个3＊3的格子里使其每行每列及对角线的数相加都相同，当然后来是机灵的黄蓉点破玄机。这个问题就是三阶幻方。
其实英姑不可能花那么多时间还没有个结果，因为实际上在小学的一期寒假作业还是暑假作业上就有这个问题的答案及解法，笔者多事，牢记在心。具体如下：
1.
先把数写好 →2. 对边对换
→3.向外"撑开"→4.稍微旋转即可，还可以旋转、对折
8
1 2
3
1 8 3 1 3
6 1 8 2 7 6
8 1 6
4 5
6
6 5 4 6 5
4 7 5 3 或
9 5 1 或 3 5 7
7 8
9
7 2 9 7 9 2 9 4
4 3 8 4 9
2
2
很简单对吧？真恨自己晚生了几百年，要不然郭靖这个傻小子……
至于相加之后的和为几，因为三行和相同，，所以从一开始就可以知道是
(1+2+3+…+9)/3＝15
更简单地，它等于1+5+9=15，对角线之和。
在我初中购买的《世界之最-数学分册》中有一篇专门讲幻方的文章，当时最大的幻方已经达到107阶。
后来有一天我观察了下面这组数：
1 2 3
4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
这些数之所以不是一个幻方是因为它有点失衡，右下角太大了，那么把一些数换换如何？最初的想法是将1和16 交换，以最快的速度弥补失衡，何况不会违反对角线之和＝34。但由于除非X=2,Y=4（或X=4,Y=2）外没有数能满足13＋X＋Y＋16=34，看来4还离不开。最后的结果比较复杂：
先是对角上下互换：
13 2 3 16
5
6 7 8
9 10 11 12
1 14 15 4
然后两边左右互换：
1 2 3 16
8
6 7 5
12 10 11 9
13 14 15 4
这时候如果你加一下就会发现差不多了，都在33、34、36三个数上，简单地将四边内部对换以下即可：
13
3 2 16
12 6 7 9
8 10 11 5
1 15 14 4
这是一个4阶幻方！8阶幻方也可以类似生成，但因为多了几行几列，过程略有复杂。
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39
40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63
64
↓
57 58 3 4 5 6 63 64
49 50 11 12 13 14 55
56
24 23 19 20 21 22 18 17
32 31 27 28 29 30 26 25
40 39 35 36 37 38 34
33
48 47 43 44 45 46 42 41
9 10 51 52 53 54 15 16
1 2
59 60 61 62 7 8
↓
57 58 6 5 4 3 63 64
49
50 14 13 12 11 55 56
48 47 19 20 21 22 42 41
40 39 27 28 29 30 34 33
32
31 35 36 37 38 26 25
24 23 43 44 45 46 18 17
9 10 54 53 52 51 15
16
1 2 62 61 60 59 7 8
其行列和已经达到260。
因为没有明显的原因阻止这种推算进行下去，我和哥哥列出了16阶幻方。但在32阶幻方上我们遇到了麻烦，那时候不象现在有Excel，那张巨大报纸上的1024个数马上使我们感受到了数学的威力。
但如果继续推算仍然有效的话则实际上可以推出2^N阶的所有幻方，且无上限，那么最大的幻方就不存在了。因为当时我的那本世界之最已经丢失，所以没能仔细看看这个问题；而后来我买到第二版的书时，这个词条已经被取消了--是不是有人已经发现了这一点？至今不得而知。
当然用这种方法推导一个巨大的高阶幻方的难度比构建一个奇数阶幻方简单多了。后来大学时我的一个初中同学陈东成曾独立推导了5阶幻方，其方法很象3阶幻方的推导过程。
后来我买到了一本书：在《奇妙的幻方》（刘缉熙 编著，重庆大学出版社1996.9第一版，32开232页，ISBN7-5624-1156-5/O·130）中虽然没有提及上述构建2^N高阶幻方的方法，却描述了更多的奇数阶幻方构建方法和许多更奇妙的幻方类型，尽管全部看懂要耗费巨大的精力，却不妨借来看看，感受一下简单的数的复杂的问题。
另：如果有时间，我将编制一个生成2^N阶幻方的程序，当然它的唯一用途是检测你的计算机的整数运算能力。
1999/8/17