填幻方

　　初一《代数》第一册(上)第77页“想一想”：填幻方，要求把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入方阵的9个空格中，使得横、竖、对角线的所有3个数相加和为零。

　　怎样解这类题，其中规律是什么？

　　按一定要求用数填的方阵，一般叫做幻方。在我国古代称为“纵横图”，又叫“九宫算图”。

　　如把1-9这9个数填入空格中，使它的横、竖、对角线的所有3个数之和都等于15。可得幻方图1，这个幻方只有三横行、三纵列，又叫做三阶幻方。(奇数阶幻方)

　　 图1　　　　　　　 图2

　　把1-16这16个数填入空格中，使它的横、竖、对角线的所有4个数之和都等于34。可得幻方图2，这个幻方有四横行、四纵列，又叫做四阶幻方。(偶数阶幻方)。

　　早在我国宋朝，大数学家杨辉在“续古摘奇算法”中就提出了三阶和四阶幻方的构造方法。

　　先把1-9这9个数排在如图3的斜直线三排上，然后像图4那样，上下对易，左右相更，便可得三阶幻方图1。

　　四阶幻方的构造方法是，先把1-16这16个数顺次直排成四列如图5，然后外正方形对角互换，内正方形对角也互换，便得四阶幻方图2。

　　 图3　　　　　 图4　　　　　 图5

　　例如，把7，9，11，17，19，21，27，29，31填入三阶幻方空格中，使每行、每列、两对角线上的三数之和都相等。

　　解　仿照上述三阶幻方的填法，由图6可得幻方图7。

　　 图6　　　　　　　 图7

　　对于奇数阶幻方，还有其他填法，现以上题为例介绍另一种填法：

　　解　(1)先将这9个数按其大小顺次填入幻方图8；

　　(2)以19为中心不动，将周围8个数按顺时针方向转1格，如图9；

　　(3)再将数19的上、下两数7、31互换，左、右两数27、11互换，即得幻方图10。

　　 图8　　　　　　　　　 图9　　　　　　　　 图10

　　请同学们利用上面介绍奇数阶幻方的两种方法，做一做课本上的“想一想”，填幻方。

摘自《中学数学教与学》2000年第6期