四十七年的组合成果

——六边幻形的研究和发展

高治源

组合数学是一个既有古老的历史渊源而又十分年青的数学分支，它有着生气勃勃的发展方向，又有着广泛的应用价值，它因为饶有趣味，引人入胜，被数学家称为是一座充满珍花异草的美好园林，然而，这个美好园林中的珍花异草，有的得来是十分不容易的，其中既有数学专家的灵感创造，又有业余爱好者长期栽培的成果。这里我们想着重介绍一种十分有趣的组合数学成果六边幻形，---它被数学家称为天斧神工之作，然而它却是一个铁路职工花了四十七年心血的重大成就。

六边幻形的由来

组合数学是一门研究将事物按特定要求进行配置以及计数等问题的学问。中国的河图洛书以及由此产生的幻方问题就是一个十分深奥的组合数学问题。再如哥尼斯堡七桥问题，kiskmam女生问题，正交拉丁方的欧拉猜想等，都有其特有的魅力，吸引了一代又一代的青年学子，把他们领进了数学研究的殿堂。六边幻形，是顺着幻方的思路发展而来的。幻方是在N阶正方形中进行填数的，要求是各行各列及对角线上各数都相等。人们自然会想到，将正方形换为正六边形，按要求填数将会有什么规律？象没有二阶幻方一样，人们很快发现，没有一层的六边幻形，因一层的六边形结构十分简单，没有什么规律可显现出来。因而探索者们将首攻目标向二层的六边形上（图1）。将图1中内部六边形的各边延长并作出三条对角线，则得图2。

于是探索者们便提出一个很高的特定要求，将1-19这19个数填入图2中19个交叉点上，使图中15条线上所含数字之和均相等，若能填成，则可称为二层六边幻形。

四十七年的追求

在美国有个叫阿当斯的人，从小就酷爱幻方。当他第一次接触二层六边幻形时，就被其中的特殊要求所打动，从1916年开始，他就正式研究这个问题。后来，他在一家铁路公司当职员，白天他忙于工作，晚上就研究六边幻形。年复一年，六边幻形一直是他大脑中浮想的美妙圣殿。他朝思暮想，将数字移去，他绞尽脑汁，变换各式各样的搭配方案。他想到1+2+3+。。。。。。。19=190，而同一方向上的有五排数字，每排数字的和应为190÷5=38。初看起来，这个问题似乎很容易，但使他感到困难的是，六边幻形中各线上的数字均不相同，有的是3个，还有的是4个或5个，因而大数与小数的位置要选择得当，奇偶数的布局要均匀。五年过去了，他又研究到十年，二十年过去了，他又研究到四十年。这么漫长的研究生涯，他曾尝过多少次失败的艰难啊。可是他不灰心，甚至在他生病住院期间，也时刻不忘研究六边幻形。1962年月12月的一天，突然他的最关键一个灵感来了，就在病床上，他终于实现了使15条线上各数和全等于38的美好愿望。于是一个神奇而漂亮的殿堂在数学的领域中高高他矗立了起来，可是它的竣工让一位铁路职工整整花了47年时间。47年的辛勤劳动，47年的执着追求，换来的不是什么金钱地位，而是19个数字的和谐匹配，整齐一律的彻底呈现，这时他的心灵深处升化出一种令人陶醉的成功喜悦。

数学宝库中的稀世珍宝

图3就是阿当斯的研究成果。他认为这一来之不易的结果，应该尽快广泛流传起来，让那些还在研究这个问题的同行少走弯路。于是他将他的六边幻形寄给一位有名的数学家。起初这位数学家并不以为然，不认为是什么重要成果。后来，经阿当斯再三督促，这位数学家才认真研究起来，研究中他惊奇地发现，数字图中的任何数字所放的位置都是那样天然的巧合，想改变哪个数字都是不可能的，这就使这位数学家兴奋了起来，他感到阿当斯的劳动成果原来是唯一的，显得十分珍贵，于是他便作了热情洋溢的赞扬和宣传，不久阿当斯的名字以及他的六边幻形传遍世界各地，

六边幻形引起众多学者的研究兴趣，有的提出了三层、四层等六边幻形的构造问题，也有的企图得到另外一种不同组合的二层六边幻形，据说，美国有一个名叫阿鳞乐的二年级大学生，曾经通过计算机，试图罗列出二层六边幻形究竟有多少种不同的排列图，结果，使他大失所望，只有阿当斯的这一种。后来人们又发现层数大于2的幻形皆不存在，因此，阿当斯的六边幻形，被誉为组合数学宝库中的稀世珍宝。

中国的阿当斯

后来阿当斯的六边幻形传到了中国，引起许多中国人的好奇。上海交通大学的张浩曾在《厦门数学通讯》中发表一篇论文，他证明了多层六边幻形成立的必要条件是层数为2。陕西洛南教师进修学校的陶纬祖证明了二层六边幻形的唯一性。北京高新慧，高学锋将阿当斯的六边幻形中的每个数字外围加一个六角星，并填上12个数字，使每条线上的数字和均等于57扩展成了一个宏大的数字阵图，妙中有巧。他们对阿当斯的佳作特别感兴趣，感叹之佘曾写过这样一首诗称赞；戏曲舞台六边形，十九罗汉站城门，四十七载阿当斯，三十八曲唱真经。

六边幻形的研究真的可以画上句号了吗？当福建的苏茂廷先生将他构制的三层六边幻形（图4）在合肥举行的国际组合学术会议上宣布时，许多知情的与会代表甚至都不敢相信。但当他们验证了图中各线上所含数字之和均为111时，无不为之惊讶。大家纷纷赞赏其构造之妙巧夺天工，于是他被称之为中国的珂当斯。

原来数字组合的稍为改动，竟然是能否构成六边形的关键所在。构造三层六边幻形需要37个数字，用1棗37这37个数字确实无法构成，但苏芪廷改用了3棗39这37个数字，经过一番刻苦努力终于获得成功。苏茂廷研究三层六边幻形已构造出12个不同的变形。以3棗39中各数构造，三层六边幻形究竟有多少种不同的变形呢？这些均是专家们尚未解决的问题。

用连续的自然数能够编成任何层六边幻形吗？笔者曾通过推导得出，N层六边幻形（n≥2）共需m=3n²+3n+1个数字，这M个数字区若是（1/2N（N-1），1/2N（N-1）+3N²+3N），就有可能编成N层六边幻形。人们下一步自然要向四层六边幻形进军了，经计算发现，6-66这61个数字能够构造出四层六边幻形，但由于编制十分困难，至今仍未有人能够解决，虽然苏芪廷已作过很大的努力，但他所构造的一个四层六边幻形所含的61个数字不是连续的自然数。

苏茂廷虽是福洲商业汽车运输公司的普通职工。但他在组合数学领域中做出很大的贡献。尤其在幻方研究方面有许多领先世界的成果，如32阶三次幻方，256阶四次幻方，还有许多伏化幻方。他利用工作之余，做出如此大的成绩，是需要毅力的，更要抛弃哪些“向钱看”的腐朽思想，当同单位人跑运输赚了大钱的时候，他却在科学的高峰上攀登的很高，虽然他的家境十分贫寒，但他却受到了人们的高度赞杨。

美国铁路公司的阿当斯与中国汽车公司的苏芪廷，他俩均是组合数学研究领域的传奇人物，他们利用业佘时间，向科学进军，并取得重大成功，正是我们广大青少年学习的楷模。